中考数学压轴题分析：角平分线有关的问题

本文内容选自2021年铜仁中考数学压轴题。本题与常见的平移产生的重叠面积略有区别，题目求三角形通过缩放得到的重叠面积。但图形比较特殊，难度不大。

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【中考真题】

（2021·河南）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．

任务：

（1）小明得出的依据是　 　 （填序号）．
①②③④⑤
（2）小军作图得到的射线是的平分线吗？请判断并说明理由．
（3）如图3，已知，点，分别在射线，上，且．点，分别为射线，上的动点，且，连接，，交点为，当时，直接写出线段的长．

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【分析】

（1）根据条件，可以发现两直角三角形的斜边与直角边对应相等，因此根据为HL。

（2）可以得到角平分线，只需证明∠POC＝∠POD即可，根据条件可以考虑用SAS证明结论。因此正确。

（3）如图，已知∠AOB，∠CPE的度数，可以得到∠OEP，∠OPC与∠PCE的度数，那么就转化为解三角形的问题了。由于∠OEP＝45°，因此可以考虑过点P作PM⊥OA，进而得到两个特殊的三角形，可以得到EM=PM＝1，得到OM=√3，那么PE的长即可得到为√2，根据△PEC∽△BEP，可以得到CE与OC的长，难度不大。

但是本题仍然有个陷阱，因为点C与点E的位置是不确定的。因为点C是射线OE上的动点，因此有可能点C在E的上方，那么又有一种情况。如下图所示。

不过解法也差不多，难度不大。

【答案】解：（1）如图1，由作图得，，，垂直平分，垂直平分，

，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：⑤．
（2）射线是的平分线，理由如下：
如图2，

，，，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，即，
射线是的平分线．
（3）如图3，

OC＜OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO=∠PME=90°，由（2）得，平分，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
设，则，
由，得，解得，
，
，
；
如图4，，连接，作，则，