第10讲 典型例题与练习参考解答：函数的连续性与间断点
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第10讲：函数的连续性与间断点
例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1 ：设函数在内有定义，且对内的任何满足
证明：在内连续的充要条件是该函数在处连续．
练习2 ：试确定的值，使得下列函数在处连续.
练习5 ：证明方程至少存在一实根．
练习6：证明函数在内至少有三个零点.
练习7：设, . 证明至少存在一点，使得.
练习8：设在上连续，且恒为正. 证明: 对任意的, ，必存在一点，使得
且. 证明：至少存在一点，使得
证明：对,，使得.
练习11 ：证明：函数在内一致连续，但在 上不一致连续.
练习12 ：证明：在上一致连续， 在上不一致连续.
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1 ：设函数在内有定义，且对内的任何满足
证明：在内连续的充要条件是该函数在处连续．
【参考答案】 ：必要性显然，下面证明充分性．
令，得．又因为在处连续，所以有
对于内任意点，有
所以在处连续．由于是在中任取的，所以在内连续．
练习2 ：试确定的值，使得下列函数在处连续.
【参考答案】 ：由连续的充要条件，左右极限相等等于极限值，故得
练习3 ：求以下函数的间断点，并指出其类型.
【参考答案】 ：要使得函数有意义，，所以有两个间断点。由于
所以为无穷间断点；由于
所以为跳跃间断点.
练习4 ：若在点连续，问在是否连续？反之是否成立？
【参考答案】 ：正向成立！反向不一定，比如函数
练习5 ：证明方程至少存在一实根．
【参考答案】 ：令，则在上连续．由于
所以由零值定理知，存在使 ，即原方程在内至少存在一个实根.
练习6：证明函数在内至少有三个零点.
【参考答案】 ：由题设可知. 又
由极限的保号性，由
练习7：设, . 证明至少存在一点，使得.
【参考答案】 ：令，则在上连续，且
故由零值定理知，至少存在一点，使得，也即
练习8：设在上连续，且恒为正. 证明: 对任意的, ，必存在一点，使得
【参考答案】 ：令，则由题设可知 ，且
当时，取或，则有
当时，因为 ，故，所以由零值定理知，存在，使得，即
练习9 ：设在上连续，
且. 证明：至少存在一点，使得
【参考答案】 ：由于在上连续，所以有. 因此当,时，有
由介值定理，必定存在一点，使得
即所证结论成立.
练习10 ：设函数且
证明：对,，使得.
【参考答案】 ：由于，故，使得
因为，故对， ，当时， ，即.
又， ，当时，，即. 从而可得
由于函数在闭区间上连续，故由介值定理知，
练习11 ：证明：函数在内一致连续，但在 上不一致连续.
【参考答案】 ：(1) 证明一致连续. ,取 ， ，当 时，可得
所以，由一致连续的定义知函数在内一致连续.
(2) 证明不一致连续. 只要证明, ，，虽然成立，但
证明过程如下：
取，总存在正整数，取, ，满足
但
故函数在 上不一致连续.
练习12 ：证明： 在上一致连续， 在上不一致连续.
【参考答案】 ：(1) 对,取，当
时，则
由一致连续的定义知在上一致连续.
(2) 在内取
取，则对任意的 ，只要充分大，总有
所以在上不一致连续.
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