一课研究之化繁为简，凸显规律——《植树问题》教学为例
一课研究
化繁为简，凸显规律
——《植树问题》教学为例
第3组 陆海燕
向你介绍我是谁
大家好！我是“一课研究”第3组的成员陆海燕，任教于广西百色市田林县利周中心校，很高兴与您再次相遇。
本期内容有哪些
1.听一听：过程--数学教学最亮丽的风景
2.读一读：化繁为简，凸显规律
——《植树问题》教学为例
3.数学故事：蜂窝猜想
01听一听：轻轻松松听听书
过程--数学教学最亮丽的风景
02读一读：坚持阅读8分钟
化繁为简，凸显规律
——《植树问题》教学为例
在小学数学教学中，我们常常为了让学生掌握一种公式、运算规律或理解某个数学概念，尝试着不同的教学方法，其目的让学生易于理解、掌握知识点。而转化思想是数学思想的重要组成部分,也是数学学习中最基本的思想方法之一，在小学数学教学中主要表现为化新为旧,化繁为简,化曲为直。
因此,我们在小学数学教学中,如能巧妙运用转化思想，通过找准起点、铺路搭桥、合理转化,让转化思想在数学课堂中合理渗透。同时，培养学生学会用转化思想去学习新知识,分析并解决问题,从而提高数学能力。
在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透这些数学思想呢?下面以《植树问题》教学为例，谈谈自己在课堂中运用转化思想的实践与思考。
一
解读课本，整体把握
《植树问题》是人教版新课程标准实验教材五年级上册“数学广角”106页的内容。教材中设计数学广角单元。教学内容的目的不是教会学生机械的公式和抽象的模型，而是让学体验探索建立模型的过程和数学思想方法。教学中要求教师要引导学生通过观察、猜测、试验、推理等活动，初步体会解决植树问题的思想方法，培养学生从实际中探索解决问题有效方法的能力。
在教学植树问题时，教师要引导学生根据实际问题情境，从简单的情况入手，在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含的规律，经历建立数学模型的过程，帮助学生积累数学活动的经验，提高学生解决实际问题的能力。
数学知识和数学思想方法是贯穿数学教学体系的两条主线，数学知识是一条明线，直接呈现在教学材上；而数学思想方法则是一条暗线，隐藏在知识的背后，数学广角中的植树问题，承载了基本的数学思想方法——化繁为简数形结合一一对应和数学建模等，使学生从中发现规律，抽取其中的数学模型点段关系，然后再用发现的规律解决生活中的一些简单实际问题。
本节课主要探讨关于在一条线段植树的问题，在一条线段上植树也有不同的情形：本节课例1主要研究两端都要栽的植树问题，也是这一系列内容的起始课，教材以学生比较熟悉的植树活动为线索，让学生选用画线段图的方法来探究栽树的棵数和间隔数之间的关系，经历猜想、试验、推理等数学探索的过程，并启发学生透过现象发现其中的规律，抽取出数学模型，再利用规律回归生活，解决生活实际问题。
二
解读学生，因材施教
由于学生初次接触植树问题，这部分的学习内容学生一定会很感兴趣，学习的热情也会比较高涨。但根据以往的教学经验，这部分内容对学生来说，是不容易理解和掌握的。学生已经掌握了关于线段的相关知识，也具备了一定的生活经验和分析思考能力与计算能力，因此为了让学生能更好地理解本单元的教学内容，在教学过程中对教科书内容进行适当调整，并充分利用学生原有的知识和生活经验来组织学生开展各个环节的数学活动。
三
解读教材，把握重点。
根据课标要求及教学材的编排结合学生的年龄特点，本课的教学目标确定如下：
1.利用学生熟悉的生活情境，通过观察、找规律等活动，使他们发现间隔数与植树棵数之间的关系。通过小组合作、交流，在理解间隔数与棵数之间规律的基础上解决简单的两端植树问题。。
2.经历感知、理解知识的过程，培养学生从实际问题中发现规律，并应用规律来解决问题的能力。渗透归纳推理和转化的思想方法。。
3.感受日常生活中处处有数学，体验学习成功的喜悦。尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
教学重点：从实际问题中探索并总结棵数与间隔数之间的关系。
教学难点：运用植树问题的思想方法解决生活中的实际问题。
四
教学过程，精彩呈现
（一）创设情境，引入新课
师：同学们，你们知道3月12日是什么节日吗？
生：植树节。
师：我们为什么要植树呢？
生：美化环境，净化空气……
师：同学们说的非常好，植树造林、绿化祖国是每个公民义不容辞的责任，上至国家领导人，下至中小学生都积极投入到植树造林中。植树不仅可以改善我们的环境，植树问题也是我们数学里的典型问题。这节课我们就一起来研究两端都栽树的植树问题。（板书）
【设计意图】从生活中的植树节引入，同时出示参与植树的一些图片，上有国家领导人，下有小学生都在参与植树活动中，保护地球，美化环境，净化空气，让我们的生活更加美好，让学生感受到生活中处处充满数学，激发学生对新知的求知欲望。
（二）化繁为简，探究规律
1.自主学习，交流想法
出示引例1:同学们在全长100米的小路一边植树,每隔5米栽一棵(两端要栽),一共需要多少棵树苗?
自学提示1：自学课本106页例1的内容：
分组讨论①从题目你们知道了什么？（说一说）
②题目中每隔5米栽一棵是什么意思？
③两端要栽是什么意思？用学具摆一摆，说一说。
④猜猜一共要栽多少棵树苗？
学生自学后汇报：
生1：树与树之间的距离叫间距。
生2：每两棵树之间的这个空格叫间隔。
生3：两端都栽指的是这条路的首尾都栽。
师：说得非常完整。
师：那到底能栽多少棵树呢？如果有树让我们栽一栽该多好啊，可老师手里又没有树呢？
师：哪位同学有办法？
生：画线段图代替种树。
师：100 m太长了，不太好画，我们可以怎么办？
生：可以先用简单的数试一试。
师：对的，我们可以把这条路缩短试试。
2.合作学习，探究规律
自学提示2：小组合作动手操作：画一画
试着用线段图的方式表示出5m、10m、15m、20m、25m距离，间距为5m，两端都种，一共可以栽几棵树？
师：请听要求再进行操作：请你们前后桌4人为一小组，根据学习清单上的要求，画出5m、10m、15m、20m、25m作为小路长度，每隔5米栽一棵树（两端都栽），动手画一画能栽几棵？分组操作，并汇报：
板： 距离÷间距=间隔数
间隔数=棵树-1
棵树=间隔数+1
师：同学们真聪明，我们从简单事例中发现规律，并利用此规律解决较复杂问题，我们把这种数学思想叫做“化繁为简”的数学思想。
【设计意图】通过画图、观察、交流活动，自己先进行画图、进行直观探究，发现问题，交流问题，解决问题。引导学生观察和思考，发现点与段。学生在独立操作的过程中，理解总长、每段距离、段数、棵数之间有什么联系。开始建立模型，理解“点”与“段”。
（三）回归生活，应用提升
（1）请你找找身边哪些地方用到植树问题中的点与段。
生：城中路灯的安装；彩旗的插放……
（2） 5 路公共汽车行驶路线全长12 km，相邻两站之间的路程都是2 km。一共设有多少个车站？
（3） 园林工人沿着公路一侧植树，每隔6米栽一棵小树，一共栽了36棵。从第一棵到最后一棵的距离有多远？
（4）小华家1楼到2楼有20个台阶，她回家一共走了100个台阶，她家住在几楼？
（5）小明家住在5楼，1楼到2楼有20个台阶，1楼到5楼有多少个台阶？
设计意图：从学生最熟悉的情境设计有层次的练习，有助于脑中的记忆帮助建立数学模型。学生通过不同类型题目的练习，在练习中总结、对比、分类，找到植树问题的解题思路及方法，有助于学生对新知的掌握。
（四）全课总结
通过这节课的学习，你什么收获？
（五）课外延伸
呼吁植树造林保护环境。
五
教学思考，提升自我
在数学教学中，解题是最基本的活动形式。任何一个问题，从提出直到解决，需要具体的数学知识，但更多的是依靠数学思想方法。因此，在数学问题的探究发现过程中，要精心挖掘数学的思想方法，把复杂的问题简单化来解决。
在问题解决过程给学生传达这样一种策略，当遇到复杂问题时（同学们在全长100 m的小路一边植树，每隔5 m栽一棵（两端都栽），一共要栽多少棵树？在例题的问题中，这里的100米长的小路学生很难想象每隔5米栽一棵，到底要栽几棵树？我们不防退到把它转化为简单问题，课本例题中是以20米起为探究起点，但在我们的磨课中有好多学生在这环节中不明白这里的“点”与“段”关系及规律，课后与学生交谈中，有一个学生提醒了我，老师为什么我们不从最短的5米开始试种树呢？一下子直接从20米长的路种树觉得好难啊！于是我们再次试课，改为从5米长的小路试起，5米长的小路两端都栽，5米为一段，可以种2棵树；10米长小路5米为一段，有2段，可以栽3棵树；15米长小路5米为一段，有3段，可以栽4棵树……直到100米长的小路可以分成20段，栽21棵。在小组合作环节中，学生一个摆一个画图，一个说，一个记录，在操作及交流中悟出“点”与“段”关系及规律，得出：总长÷每段距离=段数；段数+1=棵树；棵树-1=段数。从简单问题的研究中找到规律，最终来解决复杂问题。通过这样的解题活动，渗透了探索归纳、数学建模的思想方法，使学生感受到转化思想方法在问题解决中的重要作用。
然而，在这一课的教学中，除了让学生感受到转化思想的应用外，同时也渗透数形结合的思想方法，使学生直观地理解“点”与“段”关系及规律。因此，教师对数学问题的设计应从数学思想方法的角度加以考虑，尽量安排一些有助于加深学生对数学思想方法体验的问题，并注意在解决问题之后引导学生进行交流，深化对解题方法的认识。
03数学故事：蜂窝猜想
蜂窝是一座十分精密的建筑工程。蜜蜂建巢时，青壮年工蜂负责分泌片状新鲜蜂蜡,每片只有针头大小而另一些工蜂则负责将这些蜂蜡仔细摆放到一定的位置,以形成竖直六面柱体，每一面蜂蜡隔墙厚度及误差都非常小，6面隔墙宽度完全相同,墙之间的角度正好120度，形成一个完美的几何图形。人们一直疑问，蜜蜂为什么不让其巢室呈三角形、正方形或其他形状呢?隔墙为什么呈平面,而不是呈曲面呢?虽然蜂窝是一个三维体建筑,但每一个蜂巢都是六面柱体,而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关.由此引出一个数学问题，即寻找面积最大、周长最小的平面图形。
审核人：朱术磊 陈集想