初中数学思想方法：消元法

初中数学解题思路方法大汇总

——《初中数学典型题思路分析》附赠之一

此系列文章汇总的初中数学解题思路方法如下：

01、特殊与一般思想 ；02、整体思想 ； 03、 分类讨论思想 ；04、 转化思想；05、 数形结合思想;06、 方程与函数思想 ；07、 消元法；08、 换元法；

09、 配方法10、 待定系数法 ；11、 几何变换法；12、 反证法；13、 同一法 ；14、 构造法；15、 主元法；  16、 面积法；17、 三角法；18、 解析法；

19、 模型化法；20、 巧用零点分段法；21、 巧用乘法公式；22、 巧裂项；

23、 巧用形如 x+1/ x 式；24、 巧用倒数；25、 巧用非负数；26、 巧用分子有理化；27、 巧设设而不求的未知数；28、 巧用判别式；29、 巧设函数通用点；

30、 巧用“横 M 形”基本图形；31、 巧用倍长中线法；32、 巧用截长补短法；

33、 巧用“角平分线+平行线”基本图形；34、 巧用“双垂直图形”基本图形；

35、 巧用一线三等角基本图形； 36、 巧用二倍角基本图形

消元法

消元法就是由一些未知数间的已知等量关系,通过有限次的恒等变形,消去其中某些未知数,而得到另一些相关未知数间的等量关系的数学方法.消元法是解方程组的基本思想和方法,常常通过消元,只保留一个未知数,通过求出这个未知数,再求出其他的未知数.消元的基本方法是代入法和加减法.

应用分类：

（1）整体代入消元（基础）

（2）整体加减消元 （基础）

（3）常数消元 （基础）

（4）参数消元

（5）分式求值

（6）最值问题

（1）整体代入消元（基础）

【典型例题1】

【思路分析】此题若直接用代入法或加减法比较麻烦.观察发现,①中有2x-3y,②中也有,

因此可考虑把2x-3y作为一个整体代入②中.

【答案解析】

（2）整体加减消元（基础）

【典型例题2】

【思路分析】观察发现,两个方程中的未知数的系数具有“轮换对称”的特征,也就是说,不考虑常数项,一个方程中x,y互换位置后即为另外一个方程.可考虑用整体加减的方法来解,即把两个方程分别相加、相减,可得两个未知数系数相同或者互为相反数的新方程,此时方程形式简单,最为好解.

【答案解析】

（3）常数消元（基础）

当方程组中两个方程的常数项绝对值相等时,把两个方程相加或相减,消去常数项,可使运算简化.

【典型例题3】

【思路分析】此方程组中两个方程的常数项互为相反数,两个方程相加即可消去常数项,得到x和y 的倍数关系,然后用一个未知数表示另外一个,再代入原方程①或②中,即可解出方程.若方程组中两个方程的常数项相等,则把两个方程相减,即可消去常数项.

【答案解析】

（4）参数消元

当方程组中有的方程是用等比形式给出时,可适当引进参数进行代换,达到消元的目的.

【典型例题4】

【思路分析】当方程组中有一个方程是等比形式时,可以把比值设为参数(一般设为k),然

后用参数分别表示出两个未知数x,y,再同时代入另外一个方程中,即可整理成为只含有k的方程,解出k值,即可得x,y的值.

【答案解析】

（5）分式求值

【典型例题5】

【思路分析】此题已知两个方程,虽然不是方程组的形式,仍然可以用代入消元法,消去x或y 这个未知数,然后利用配方法和平方数的非负性,从而得到方程(组)的解.最后代入分式求值即可.

【答案解析】

（6）最值问题

【典型例题6】

【思路分析】本题表面上是三元变量求最小值问题,实际上可以通过把8x+9t=s代入原 式,消去一元变量s,将三元变量问题转化为关于x,t的二元变量问题.由于本题的特殊性,可 以将二元变量的整体x+t看作一个元变量,从而转化为一元变量求最小值问题.

【答案解析】