第29讲：一元二次方程5种解法（上）

根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在：

1．求方程中字母系数的值或取值范围；

2．求代数式的值；

3．结合根的判别式，判断根的符号特征；

4．构造一元二次方程；

5．证明代数等式、不等式．

当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．

一元二次方程的根的判别式是揭示根的性质与系数间联系的一个重要定理，是解直接或间接与一元二次方程相关问题的有力工具，其主要应用于以下几个方面：

1、判断方程实根的情况；

2．求方程中字母系数的值与字母间的关系、字母的取值范围；

3．证明等式或不等式；

4．利用一元二次方程必定有解的代数模型，证明几何存在性问题．

许多表面与一元二次方程无关的数学问题，可以通过构造一元二次方程，把原问题转化为讨论方程的根的性质，然后用判别式来解，这是运用判别式解题的技巧策略．

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