微积分传奇（1） | 缘起：功过是非比例论
作者：蒜泥学数学，山东理工大学数学与统计学院教师
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割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣．
——【魏晋】刘徽❞
功过是非比例论
在经历了希波战争的辉煌和伯罗奔尼撒战争的摧残之后，古希腊文明的古典时代终于落下了帷幕． 在战争结束的四年之后，也就是公元前400年，一个男婴降生在了古希腊世界的尼多斯． 他家世代行医，而他却在古希腊数学史乃至世界数学史上留下浓墨重彩的一笔——他，名叫欧多克索斯！
少年时，他可能会想，自己也会成为一名医生吧．学医之后，他为一名医生做助手，曾经去过意大利的希腊城邦． 在意大利，少年欧多克索斯遇到了改变他一生的人．此人名叫阿基塔斯，是曾经名震一时的毕达哥拉斯学派后期的一位重要成员． 毕达哥拉斯学派，是古希腊数学家毕达哥拉斯创立的一个秘密宗教组织． 与其他秘密宗教不同，这个组织崇拜自然数，研讨并秘密传授数学，以一己之力点燃了古希腊推理数学的熊熊之火，曾经盛极一时． 但后来由于卷入政治事件而分崩离析，其成员四散于古希腊世界各地． 而阿基塔斯正是这一学派的重要成员之一． 说他"重要"，并非夸大其词，他将两个重要人物引入了数学世界． 其中之一是日后大名鼎鼎的柏拉图，雅典学园的开创者；而另一个就是我们的主角，欧多克索斯，日后继承柏拉图，成为雅典学园的第二任掌门，学术成就遍布数学、天文学和地理学， 甚至有人称其为古希腊最伟大的数学家之一．
同时，他也为微积分那起起伏伏的历史埋下最初的三个线索．
还是让我们先回到那时那地吧．当时还是一个医学实习生的欧多克索斯在阿基塔斯的指引下学习了几何学． 此后他一边行医一边研习几何学． 到了公元前368年，对雅典学园的鼎鼎大名向往已久的欧多克索斯在朋友的邀请下，欣然前往雅典． 在雅典学园，他聆听了诸位大师的教诲，并受到柏拉图的赏识． 后来他又前往埃及求学，学成归来后创立了自己的学派． 当柏拉图年迈之时，邀请他前来主持雅典学园的日常工作．自此欧多克索斯成为古希腊世界的数学领袖之一．
作为深受毕达哥拉斯学派影响的学者，柏拉图和欧多克索斯都知道如今古希腊数学裹足不前的原因是什么，它就是不可共度线段的问题． 考虑两条线段和，如果恰好可以被分成个，那么就说可以用来度量，也说是的度量单位． 考虑两条线段和，如果存在线段，使得既是的度量单位又是的度量单位，那么就说是和的公共度量单位， 并且称和是可公度线段，否则称为不可公度线段．
毕达哥拉斯及其学派一直以来都坚信，任意两个线段总是可公度的． 但是据说毕达哥拉斯的一个学生发现，正方形的一条边和其一条对角线是不可公度的． 这造成了学派内部极大的恐慌，这可能是因为很多证明依赖于"任意两线段总是可公度的"这一前提， 也可能是对当时主流理念造成了太大的冲击． 总之，这个事件给古希腊数学界造成了极大的困扰，史称"第一次数学危机"．
从现代数学的角度来说，毕达哥拉斯学派相信"任意两线段总是可公度的"， 这相当于说只承认有理数，而不承认无理数． 那么这个问题对于我们所讨论的主题"微积分"有什么影响呢？
从事后诸葛亮的视角来说一下吧．微积分的基础在于"极限"这个概念，那么只玩有理数的极限会有什么问题呢？问题在于很容易出现这样的情况：数列的每一项都是有理数，但是它的极限是个无理数！换句话说，设想我们把实数的全体看成一条直线（也就是实数轴），如果我们从这条直线上剔除所有的无理数，那么这条直线上会出现无数个小坑， 一不留神就会有极限落在这些坑里．
这是我们后人开了上帝视角所能看到的，但是古希腊人并不能看到这一点． 而这个问题对古希腊数学发展的危害，有短期和长期两个． 从短期来看，一旦他们所研究的数学问题在事实上出现了无理数，他们将无所适从；从长期来看，如果不根本解决这个问题，微积分等相关数学分支就不会在古希腊的土地上诞生．
当然，虽然我们还没介绍古希腊数学家的解决方案，但是我们现在已经知道了其后果， 那就是：短期问题一定程度上被克服，不可公度线段并没有对古希腊数学造成多大的阻碍， 但是从长期来看，他们也确实没有彻底克服这个问题．
他们解决问题的方法就是欧多克索斯的"比例论"，这个理论后来被雅典学园的优秀毕业生欧几里得写入那本旷世巨著《几何原本》当中．
其实，欧多克索斯的解决方案也没什么太神奇的，简单地说就是："无理数，我是不能承认的，这是信仰问题；但是，我可以绕过去！" 首先，他不再承认"数"是几何学的研究对象之一，相反地，他引入了一个概念，叫量，相当于长度、角度、面积、体积这一类，反正就是不说这是个数．
等一下，换个马甲能解决问题吗？请注意，古希腊人所说的"数"其实指的是有理数，由现代数学的观点来看，它是不连续的． 但欧多克索斯所说的"量"，是用来表示长度、角度、面积、体积这一类连续的数学对象的． 更关键的是，欧多克索斯还有"配套工程"，这才是比例论的精华，它被记录在了《几何原本》中． 我们这里就不展开说了，因为估计很多读者会因为过于晦涩而被搞糊涂， 感兴趣的读者可以去查阅《几何原本》的第五卷． 如果你读了第五卷，而且你恰好又熟悉数学分析中的"戴德金分割"， 那么你很可能惊讶地发现，欧多克索斯的比例论与戴德金分割有着某些事实上的相似之处． 虽然古希腊人并不承认无理数，但是欧多克索斯使用比例论将其绕了过去．
这就是欧多克索斯为微积分的发展所埋下的三条线索之一！
但是这就导致，对后来的古希腊几何学家来说，凡是出现与无理数有关的问题都要用比例论绕一下． 更关键的是，由于不承认无理数，所以古希腊人不可能建立现代意义上的极限的概念． 因此，每当古希腊几何学家遇到今天用极限解决的问题时，他们不得不再用另一个方法绕一下， 这就是欧多克索斯为微积分的发展埋下的第二条线索：穷竭法．