曾难倒阿基米德和牛顿的数学问题，他19岁就解开了

与牛顿、阿基米德齐名，被誉为有史以来最伟大的三位科学家之一——卡尔·弗里德里希·高斯是一位旷世奇才，他在数学、物理学、天文学领域都有重大影响。高斯又与阿基米德、欧拉并称为世界三大数学家，是近代数学奠基者之一，被誉为数学王子。

卡尔·弗里德里希·高斯

1777年4月30日，高斯出生在德国的布伦瑞克。幼时家境贫寒，虽然没有机会受到良好的正规教育，却很早地显现出罕见的数学天赋。抽象的数学使一般人在学习中都要经过长时间的适应过程，但对高斯，数学能力似乎是他天然的特质之一，数学不仅自然而顺畅地与他的内心呼应，这种优异特质还表现出持久而稳定的品质。

据说，他3岁就能心算账目；9岁就能迅速计算自然级数之和；11岁时发现二项式定理；12岁时能给出几何学证明过程；16岁时已经能预料非欧几何学的存在；他导出了二项式定理的一般形式，并将其运用到了无穷级数，由此发展了数学分析的理论；18岁时，发现了质数分布定理和最小二乘法；19岁时能用没有刻度的直尺和圆规构造出正十七边形，解决了2000多年来，自希腊开始，曾难倒阿基米德和牛顿的数学难题，成为对欧式几何学的重要补充；21岁时完成他的代表性著作《数论》，这部杰作于1798年完成，却直到1801年才发表。成为数论的奠基之作，至今对现代数论的研究都有着重要的影响。

然而，高斯并不认为自己才智超常，他强调重要的因素在于思考。他经常说：“如果别人能和我一样深刻而持续地去思考数学真理，他们也会做出同样的发现。”高斯的老师对他异乎寻常的数学天赋刮目相看，他的数学天才也受到布伦瑞克一位公爵威廉·布伦奇维格的赏识。

威廉·布伦奇维格

从高斯14岁起，公爵开始资助他的学习和生活，这位公爵的善举成就了一位世界级的数学伟人。1795年，高斯18岁时进入哥廷根大学，1798年转入赫姆施泰特大学，第二年以证明代数的一个基本定理获得了博士学位。1807年，高斯开始担任哥廷根大学数学教授，同时兼任哥廷根天文台台长，直至去世。高斯的成就遍及数学的各个领域。在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性的贡献。他十分重视数学的应用，更重视科学技术的“数学化”，正因如此，他在天文学、大地测量学和磁学的研究中超于常人，作出独具开拓性的重要贡献。

高斯曾有句名言：“数学是科学的皇后。”这句话具有两个重要的含义，既指明数学在科学技术活动中不容置疑的统治地位，又说明数学必须与科学技术相结合。

在高斯的一生里，有记录在案的论文共155篇，在没有发表的日志里，还有着一个更为庞大的“数学王国”。高斯去世多年之后，人们发现了他随手写下的日志。从1796年开始到1814年，日志中记录了高斯146项研究成果，由于只是个人使用，说明并不详细：有的是三言两语、提纲挈领地写出了证明方法，有的仅有几个公式和结论，甚至有的条目简单得令人看不懂。这些不完整的记载可以看到高斯研究课题之深广和宽泛。

1796年是高斯数论研究大发展的一年。这部日志记录了当年对数论不完整的记载，例如，这一年的3月30日，高斯发现了十七边形的制图法，找到了简化数论操作的方法；4月8日，首次提出二次互反律的证明方法，这一工作使得数学家得以确定二次方程的可求解性；5月31日，推测出素数理论；7月10日，发现任何一个正整数都可以表现为三个三角数之和，这一证明涉及日后费马大定理的证明等。这部日志直到1898年（高斯去世的43年之后），才由哥廷根皇家学会流传开来。高斯日志轰动了整个科学界。人们第一次认识到，许多重大的成果早已由高斯所发现，但都没有公开发表。例如，关于椭圆函数的双周期研究早在1797年3月18日就有记载，但这一重要成果一直沉睡了百年，才由雅克比和阿贝尔独立研究成功，成为19世纪函数论的核心。面对如此丰富的日志内容，如果当时能及时发表，无疑会对数学的发展起到强力的推动作用，数学史也将因此大大地改写。

高斯的日志 来源：BBC 纪录片《数学的故事（The story of maths）》

与高斯一生相伴的是一个庞大的“数学王国”，而这些成果也决不仅仅是 “伏案的工作”，他不仅把数学研究与天文学和大地测量学同时并举，更把大部分时间投入到了物理学、天文学及大地测量学的研究中。早在哥廷根大学求学的时候，他就对天文学产生了兴趣。1801年1月1日，皮亚奇发现了小行星——谷神星，当时能观察到这颗星的时间只有几个星期，年仅24岁的高斯能通过观察数据，运用数学方法预言了这颗行星的轨迹。这一年年底的观察结果，果然证明了高斯的预言正确。1802年，又有一颗小行星——智神星被奥博斯发现，高斯再次成功地算出了它的轨迹。

在哥廷根大学将近50年的时间里，高斯一直担任天文学教授和哥廷根天文台台长。天文学占去了他绝大部分时间和精力。在高斯1809年的主要著作之一《天体运动论》中，他对这些天文学方面的早期工作进行了总结，而其中所阐述的大部分是数学。在高斯的手里，数学在天文学中并不仅限于运用，在应用中，数学理论更获得了发展生机。在对谷神星轨迹的计算中，高斯相辅相成地发展了复数运算，并严格证明了任何一个n阶的代数方程一定存在着n个实数或复数解；他在第一本著作《数论》中给出了二次互反律的证明，成为数论发展的重要基础。在这部书中，他还推导出了三角形全等定理的证明方法。在最小二乘法基础上，他发展了测量的平差理论，由此测算出天体的运行轨迹。他的测算如此之精确，以致使后来的天文学家毫不困难地把谷神星和智神星的位置找到。高斯的《天体运行理论》中所引用的方法至今在天文学中广泛使用。

谷神星

在1818—1826年间，高斯应汉诺威公爵之邀，主持了汉诺威公园的大地测量工作。这是有史以来，在测量学上罕见的巨大工程。在工程的实施过程中，高斯亲自参与野外测量，他白天观测、晚上计算。他所设计、布下的大规模大地控制网精确地确定了2578个三角点的大地坐标，为了使数据精确周密，他发明了日光反射仪，更利用所创立的最小二乘法发展了测量平差法和求解线性方程法，从而提高了测量的精确度。

在确立了三角测量法之后，他又把主要精力转到了处理观测数据上。他亲自计算的数据达100万条，写出了近20篇关于大地测量学的论文。高斯的这一工作奠定了大地测量学的基础，更由此产生了微分几何的创新思想。通过所创立的大地测量学，高斯得出了复活节日期的测算公式，由此可以获知任何一年复活节的日期，这一成果使他在世界上的名声大噪。在大地测量中，高斯通过工程还促进了对非欧几何学的思考。他曾对哥廷根附近的三个山头进行测量，以证明非欧几何学的存在，虽然最后没有成功，但这一思想对后来非欧几何的开创，甚至对广义相对论理论的发展都具有重要意义。

1828年，高斯出版《关于曲面的一般研究》一书，全面地阐述了空间曲面的微分几何学，提出了曲面内秉性质的理论，这一理论后来经黎曼发展成著名的微分几何学。从1830年到1840年间，高斯参与物理磁学的研究，也获得了开创性的成果。他创造了测量地球磁场的方法；与韦伯一起研究电流磁场的规律，由此制成利用电流控制磁针偏转的装置，成为高斯的若干发明之一，这项发明引发后来的无线电电报技术。电磁场理论的创始人麦克斯韦在他的《电学和磁性论》中写道：“高斯对磁学的研究，他所使用工具，观察的方法和结果的计算，重新构造了整个科学。”

为纪念高斯而立的塑像

1849年，哥廷根大学为高斯获得博士学位50周年举行庆祝会。此时，哥廷根大学已经成为数学、物理学研究的世界中心，但高斯的身体却日渐衰弱。在庆祝会上，高斯获得了哥廷根荣誉市民的头衔，由于在数学、天文学、大地测量学和物理学上的杰出贡献，他被选为德国科学院和学术团体的成员，成名之后，高斯谢绝了来自各地，甚至来自国外大学教授职位的邀请，一直留在哥廷根小城，直到1855年2月23日去世。

高斯在哥廷根的墓地

来源：《科学史上的365天》,略有删改

作者：魏凤文 武