一题一研|圆锥曲线顶点与最小距离

昨天做了一张卷

发现有个小题挺好的

当然说的不是难度

而是真的有意思

想了想

做个一题一研

不论有无实在意义

结论倒真的是挺美的

01
双曲线中距离

一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分,它的方程是y2-x2=1,y∈[1,10],在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体),要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部,最清洁钢球的最大半径为     .

分析:要使清洁钢球能擦净凹槽的最底部,则球与双曲线相切于顶点,即双曲线上到球心距离最小的点为其顶点。

因此,此题是研究圆心在实轴上的什么位置时,双曲线与圆相切于顶点问题。

于是,我做了下面的研究:

因为双曲线关于y轴对称,

为方便计,

只考虑双曲线左支情况。

从以上分析不难看出,

当点A的横坐标

时,

圆与双曲线总相切于顶点,

即顶点到点A距离最小。

如果要记忆的方便点,

这样是不是更有一种熟悉的感觉?

原来准线方程是:

嗯,

原来确实是很相像的。

所以,

当清洁钢球能擦净双曲丝底部时,

球的最大半径应为

.


02
椭圆中距离

其实,类比双曲线,我们也可以尝试着在椭圆中研究下相似的问题。

记住那两个分界点的坐标哦,


03
抛物线中距离

有一个轴截面是抛物线型的酒杯,它的方程近似为x2=4y.现将一粒玻璃球放进酒杯内,若玻璃球能触及玻璃杯的底部,则玻璃球的半径最大为     。

从以上的分析不难看出,

若玻璃球触及玻璃杯的底部,

则玻璃球的球心必在(0,2)点的下方。

故玻璃球的最大半径为2.


04
做个总结

为方便计,圆锥曲线的焦点均在x轴上,A(m,0)。

①对于椭圆,当|m|≥2/a时,

椭圆上到点A距离最小的点为顶点。

即:以点A为圆心的圆与椭圆切于顶点;

②对于双曲线,|m|≤2/a时,

双曲线上到点A距离最小的点为顶点。

即:以点A为圆心的圆与椭圆切于顶点;

③对于开口向右的抛物线,当m≤p时,

抛物线上到点A距离最小的点为顶点。

即:以点A为圆心的圆与抛物线相切于顶点。

END
(0)

相关推荐