一题一研｜圆锥曲线顶点与最小距离

昨天做了一张卷

发现有个小题挺好的

当然说的不是难度

而是真的有意思

想了想

做个一题一研

不论有无实在意义

结论倒真的是挺美的

01

双曲线中距离

一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y²-x²=1,y∈[1,10]，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，最清洁钢球的最大半径为     .

分析：要使清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则球与双曲线相切于顶点，即双曲线上到球心距离最小的点为其顶点。

因此，此题是研究圆心在实轴上的什么位置时，双曲线与圆相切于顶点问题。

于是，我做了下面的研究：

因为双曲线关于y轴对称，

为方便计，

只考虑双曲线左支情况。

从以上分析不难看出，

当点A的横坐标

时，

圆与双曲线总相切于顶点，

即顶点到点A距离最小。

如果要记忆的方便点，

这样是不是更有一种熟悉的感觉？

原来准线方程是：

嗯，

原来确实是很相像的。

所以，

当清洁钢球能擦净双曲丝底部时，

球的最大半径应为

.

---

02

椭圆中距离

其实，类比双曲线，我们也可以尝试着在椭圆中研究下相似的问题。

记住那两个分界点的坐标哦，

---

03

抛物线中距离

有一个轴截面是抛物线型的酒杯，它的方程近似为x²=4y.现将一粒玻璃球放进酒杯内，若玻璃球能触及玻璃杯的底部，则玻璃球的半径最大为     。

从以上的分析不难看出，

若玻璃球触及玻璃杯的底部，

则玻璃球的球心必在(0,2)点的下方。

故玻璃球的最大半径为2.

---

04

做个总结

为方便计，圆锥曲线的焦点均在x轴上，A(m,0)。

①对于椭圆，当|m|≥ｃ²/ａ时，

椭圆上到点A距离最小的点为顶点。

即：以点A为圆心的圆与椭圆切于顶点；

②对于双曲线，当|m|≤ｃ²/ａ时，

双曲线上到点A距离最小的点为顶点。

即：以点A为圆心的圆与椭圆切于顶点；

③对于开口向右的抛物线，当m≤p时，

抛物线上到点A距离最小的点为顶点。

即：以点A为圆心的圆与抛物线相切于顶点。

END