3个数学难题——走进传奇数学天才的数字游戏
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难题1:完美数字
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a能被1整除 ab能被2整除 abc能被3整除 abcd能被4整除 abcde能被5整除 abcdef能被6整除 abcdefg能被7整除 abcdefgh能被8整除 abcdefghi能被9整除 abcdefghij能被10整除
难题2:“模棱两可”的三角形
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有一个等腰三角形,三角形其中一个角的度数是x度,腰长和底长之比是y。 有两个不同的三角形有完全相同的x和y值!
难题3:随机模式
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如果只有一个瓦片,那么第二个瓦片落在原瓦片的北面、南面、东面或西面的概率相等。
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如果有一个由8个瓦片组成的环,那么环的外面有12个位置,中间有一个位置,所有这些位置对于下一个瓦片的放置都是有效的。中间的那个块接收瓦片的可能性是任何外部放置的4倍,因为它与之前放置的瓦片共享四条边,而不是只有一条边。
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在平面上有一个图块时,H = 4个边÷1个图块= 4。 对于由八个图块组成的环,H = 16个边沿÷8个图块= 2。 对于一行八个图块,H = 18个边÷8个图块= 2.25。
一个新瓦片可以放在一个边(只碰到一个瓦片)、一个角(碰到两个)、一个U字里面(碰到三个)或一个洞里面(碰到四个)。每个位置如何影响新配置中暴露的边的数量? H的最小值和最大值是多少,它们对应的是什么类型的平铺图案?你能想出一个近似的或确切的公式来说明当块数(n)增加时H的最大值和最小值吗? 给定n时H的期望值是多少(近似的或确切的)? 找到“平衡”的最小的瓦片,这样下一个瓦片的添加可能增加暴露的边缘的数量,也可能减少它。你能找到一种具有这种性质的对称构型吗? 在添加一个平铺块后,找出H的期望值保持不变的最小平铺块。满足这个性质的次小平铺是什么?
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