量子史话（19）qp≠pq，海森堡发现力学量不满足乘法交换律
上个视频我们说了，海森堡成长过程中最关键的那几年，他游走在量子力学的金三角，先是师从索末菲，毕业后不是在给波恩当助手，就是去波尔的研究所学习；
在这三个地方，他学到的数学、物理学，还有最新、最前沿的量子理论，还从泡利那里学到了一个关键的思想，物理学应该从可观测的量入手，来建立最基础的理论，他要抛弃旧量子论中那些不自然的假设，把不可观测的量从原子模型中剔除。
那么哪些量不可观测，哪些量是不自然的假设？比如像玻尔说的电子轨道，它不可观测，谁也没有真正见过电子在轨道上绕着原子核运行，原子模型中所有的量化条件都是不自然的假设，比如玻尔说，电子轨道的角动量是量子化的，那么你的理论基础是什么？没有理论基础的假设都不自然。
而在海森堡的眼里，想要研究原子模型，唯独两个物理量是可观测，第一个就是原子发射光谱的频率，也就是轨道之间的能级差，第二个就是根据发射光谱的强度，可以算出电子从一个轨道跃迁到另外一个轨道的概率。
海森堡决定从这两个可观测的量入手，去建立一个更为基础的理论，并且给出数学语言的描述，而且这个数学语言要能够很自然的推倒出电子所有的量化条件，也就电子的性质，不需要任何假设。
1925年4月，当他回到哥廷根以后的一个多月，海森堡因为花粉过敏让他的脸肿得跟猪头一样，他不得不离开哥根廷，于6月7号逃往一个没有花草树木的石头岛上避难。
放松的心情，以及一望无际的大海，让他的思绪迸发，一脚踹开了量子力学的大门。海森堡先是把氢原子中可能出现的所有频率的光，通过记账的方式写成了一个数列。
假如，氢原子中的电子只有三个可能的能级，也就是n=1、2、3，电子可以在这三个轨道上来回的跃迁，那么这三个能级所能包含的所有光谱频率就包括：ν11 v12 v13 v21 v22 v23 v31 v32 v33。
很明显，v11，v22，v33是0，因为是同一轨道，v12，v13，v23，是低轨道到高轨道的跃迁，需要吸收能量，所以这些谱线，可以在吸收光谱中找到，剩下的v21，v31，v32，是从高轨道到低轨道的跃迁，属于发射光谱。
当然我们只写了三个轨道可能的发射频率，如果考虑更多的轨道，这些发射频率也可以写成一个数组，我们用vmn表示，
并且根据光谱的强度，可以写出另外一个，关于每个频率发射概率的数组，用amn表示，这两个数组就是原子中可观测的两个物理量。
现在海森堡需要做的是，根据这两个数列找出和牛顿力学中对应的物理量，并且把这两个物理量也写成数列的形式。
所以他要想出一个经典物理学和量子世界相互关联的桥梁，那么这个桥梁是啥？简谐振子，他假设数列中不同频率的光谱线，都是由不同频率的振子发射出来的，每个简谐振子的振动频率都对应特定频率的光谱线。
而每个振子都具有特定的动量，以及偏移平衡位置的位移，因此海森堡成功地将量子世界的问题引入了经典物理学。
在他的想法中，每一个物理量都要写成一个数列，当然振子的动量和位置也不例外。所以海森堡就写出了所有振子的动量数列，用P头上加个帽子hat表示，以及振子的位置数列，用q^表示，这里的^代表了算符中的一种，只是用来区分量子力学的物理量和经典力学的物理量。当然我们见过的算符比较多，比如√，取平方根，（）*取复共轭，d/dx作一阶倒数等等。
这也是量子力学中的一个基本假设，描写物理系统的每一个力学量，都对应一个线性算符，线性算符指的是，算符对物理量的运算是线性的，线性方程还记得吧，只有加减乘除的方程，比如y=3x+5，这就是线性运算。
这里大致了解下就可以，毕竟我们不会用到量子力学去买菜。
我们接着说海森堡，当他写出动量和位置的数列以后，发现了一个了不得的事情，数列q乘以数列p，竟然不等于数列p乘以数列q，说人话就是，qp≠pq，这跟我们常见的乘法规则相违背，我们知道3乘5永远都等于5乘3，这叫满足乘法交换律。
但是海森堡发现的数列的乘法不满足交换律。也就是说qp-pq≠0，那么到底等于多少呢？海森堡在这里卡住了，他完全搞不懂这个奇怪的乘法。
心急如焚的海森堡立马杀了回来，在6月19号先是找了泡利说了他的想法，泡利对这位老朋友给出了肯定和鼓励。
6月底海森堡就把自己的想法写成了一篇论文，给泡利寄了一份，也给了波恩一份，波恩的数学那是相当了得，他很快就看出了问题所在，那个神秘的乘法。
他总觉得海森堡写的数列，以及这个不可对易性的乘法非常眼熟，就是想不起了在哪里见过，某天早上刚起床，波恩就想起了他还是学生的时候，听过一个讲座，里面说到的矩阵，以及矩阵所满足的运算法则，就是海森堡论文中提到的数列，以及这个不满足交换律的乘法。
矩阵以及矩阵的运算，是19世纪英国的数学家凯利发明了，在矩阵中确实乘法是不满足交换律的，而且在数学领域也给出了证实，但是这种数学形式基本上没有用武之地，所以除了极少数的数学家以外，绝大部分的物理学家都不懂矩阵，甚至都没听过还有矩阵这玩意。
也就是说，海森堡在解决量子问题的时候，又重新把矩阵发明了一遍，当波恩告诉他，你写的这是矩阵，海森堡一脸懵，他根本没听过矩阵。
虽然波恩知道这是矩阵， 也知道为什么不满足乘法交换律，但是要把这个冷僻的数学形式用在解决量子问题上，并且建立一个逻辑自洽的理论框架，波恩还是觉得自己一个人能力有限。
他想找个人帮忙，首先想到的就是泡利，他觉得泡利这个人能力很强，但是却忘了泡利的嘴也很厉害，很显然他拿着热脸贴了冷屁股。泡利不仅拒绝了波恩，还怼了他几句，说：你不要动人家海森堡的东西，你那无用的数学会破坏人家的物理思想。
这话说得够重的，要知道波恩也算是泡利的老师，不过波恩已经习惯了，他觉得泡利就是那种人，不和他一般见识。不过说真的，泡利因为他的嘴，让自己错失了很多发现。
失望的波恩又去找了自己的一位学生，他叫约当，以前是学数学的，后来才跟着波恩学习物理学，波恩清楚约当的能力，而且他非常精通矩阵。
两人合作，很快就把q和p用矩阵公式联系了起来，这就是矩阵力学的基本公式，pq-qp=(ih/2Π)I，其中的小写的i代表了虚数-1的平方根，h是普朗克常数，大写的I代表单位矩阵。
有了这个公式，就可以自然地推导出玻尔原子模型中的那些量化条件，10月中旬海森堡从外地讲课回到了哥廷根，他也参与到了其中，量子力学中所有的内容很快就建立了起来。
11月份，一篇逻辑一致的《量子力学的基本方程》发表在了《物理期刊》上，史称三个人的文章，因为这篇文章是海森堡、波恩、约当三个人写的。
海森堡独自发表的那一篇论文史称”一个人的文章“，为什么要这样称呼？因为矩阵力学剔除了可视化的图形，人们在脑海中无法想象原子中到底发生了什么？只能通过数学去把握。
而且矩阵力学这种数学形式非常抽象，难懂，导致用它解决实际问题的时候非常困难，很多的物理学家之前都没接触过矩阵，所以不得不恶补矩阵数学，他们觉得新的量子力学太难了。可能只有他们几个写文章的人懂吧，所以称他们的论文为'三个人的文章'。
就拿泡利来说，当他把矩阵力学用在解释氢原子光谱的时候，他也不得不调动所有的脑细胞，花了两个星期的时间才完成。泡利当如此，更不用说其他人了。而且这还是最简单的氢原子，其他更复杂的原子，可想而知。
当时所有的人都觉得海森堡的矩阵力学把他们压得喘不过气，爱因斯坦直接说，海森堡他们是靠着魔法在进行计算。足以见得矩阵力学是地狱般的难度。
不过，当所有人都头疼的时候，没等几个月，量子力学的另外一个版本出现了，它是薛定谔的波动力学，所有的物理学家像是看到了阔别已久的爱人一样，欢呼雀跃。
而这时的海森堡，像是被人抢了孩子一样，愤怒，无助。最严重的时候，海森堡说他想起薛定谔的波动力学，就犯恶心。
好了，下节课，我们说量子力学的核心，波动力学。