第20招：齐头并进-平面向量之等和线定理

第20招：齐头并进 - 平面向量之等和线定理

(

全国III卷理)在矩形

中,

,

,动点

在以点

为圆心且与

相切的圆上.若

,则

的最大值为(    )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】作直线

且与圆

相切点

,连接

交线段

于点

,过

作

交

于点

,交

于点

,设圆的半径为

,则

.

故选A.

【点评】由

联想到向量共线定理推论,但

三点不共线,怎么办?将向量伸缩,构造三点共线,利用等和线定理即可求解.

向量问题等和线的运用

1.适用题型

平面向量基本定理的表达式中,研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值.

2.基本定理

(1)平面向量共线定理

已知

,若

,则

三点共线,反之亦然.

(2)等和线

平面内一组基底

,

及任一向量

,

,若点

在直线

上或者在平行于

的直线上,则

(定值),反之也成立,我们把直线

以及与直线

平行的直线称为等和线.

1.等和线类型

(1)当等和线恰为直线

时,

;

(2)当等和线在

点和直线

之间时,

;

(3)当直线

在点

和等和线之间时,

;

(4)当等和线过

点时,

;

(5)若两等和线关于

点对称,则定值

互为相反数.

2.解题步骤

(1)确定等和线为

的线;

(2)平移(旋转或伸缩)该线,结合动点的可行域,分析何处取得最大值和最小值;

(3)从长度比或者点的位置两个角度,计算最大值和最小值.

说明:平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致,若不一致,本着少数服从多数的原则,优先平移固定的向量;若需要研究的两系数的线性关系,则需要通过变换基底向量,使得需要研究的代数式为基底的系数和.

1.设

为

的边

和

上的点,

,

,若

,则

的值为__________.

2.(2020江苏卷)在

中,

,

,

,

在边

上,延长

到

,使得

,若

(

为常数),则

的长度是__________.

3.(

年

月哈师大附中月考)在直角梯形

,

,

,

,

,

,

分别为

,

的中点,点

在以

为圆心,

为半径的圆弧

上变动(如图所示),若

,其中

,

,则

的取值范围是__________.