世界上第二美丽的等式，多面体欧拉定理，打开了一个新的几何领域

我写过很多关于欧拉恒等式的文章，可以说它是世界上最美的等式。本文是关于多面体欧拉定理的。每当我开始写一篇关于数学的文章时，我的大脑告诉我这篇文章是由莱昂哈德·欧拉“赞助”的。欧拉几乎在数学的任何一个领域都有所贡献。

欧拉示性数（The Euler characteristic），一个拓扑不变量，可能是数学领域中第二美丽的方程。我这么说不是因为我个人喜欢这个方程。事实上，许多科学家更倾向于将其视为一个整体。甚至《LiveScience》杂志的一篇文章在《最美的11个数学方程》中也提到了它。

顶点-边+面= 2，这就是我们所知道的多面体欧拉定理。让我们来分析一下。

对于任何凸多面体，顶点数减去边数加上面数总是等于2。在进一步分析之前，让我们看看五个柏拉图多面体。

柏拉图多面体

在三维空间中，柏拉图多面体是正的凸多面体。它是由相等的、规则的、多边形的面构成的，在每个顶点上有相同数量的面。

一个四面体有四个面和四个角，由六条边连接。对于一个四面体，V = 4，E = 6，F = 4。

V - E + F = 4 - 6 + 4 = 2，因此，它满足多面体欧拉定理。

我在下面列出了所有的柏拉图多面体。

• 四面体：V = 4；E = 6；F = 4。

• 立方体：V = 8；E = 12；F = 6。

• 八面体V = 6；E = 12；F = 8。

• 十二面体：V = 20；E = 30；F = 12。

• 二十面体：V = 12；E = 30；F = 20。

• 五个正多面体。

那是公元前360年一个温暖的夏夜，柏拉图正坐在沙发上，想着将四种经典元素（土、气、水、火）中的每一种都与柏拉图多面体联系起来。土和立方体联系在一起；气具有八面体，因为它的微小成分是如此光滑，以至于人们几乎感觉不到；水与二十面体联系在一起，因为它从一个人的手上流淌过；火与四面体联系在一起，因为火的温度让人感觉尖锐刺痛。当然，我并不能理解他的这些解释。

• 开普勒的宇宙奥秘中元素的任务。

快进到16世纪，德国天文学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler）将太阳系的六颗行星（当时除了地球以外，只有五颗行星被发现）与这五个柏拉图多面体相联系（至少是试图建立联系）。

1596年，开普勒提出了一个太阳系的模型，在这个模型中，五个固体是相互嵌在一起的，由一系列内切和外切的球体隔开。

开普勒认为行星间距离的关系可以用代表土星轨道的球体内的五个柏拉图多面体来理解，这是一个很酷的想法。

• 开普勒的柏拉图多面体太阳系模型。

这六个球体分别对应着水星、金星、地球、火星、木星和土星。最里面是一个八面体，接着是一个二十面体，十二面体，四面体，最后是立方体。

当然，开普勒离现实很远，但我们不要忘记这五个柏拉图多面体是多么重要。回到数学，回到欧拉。

多面体欧拉定理甚至适用于一个球体。如果你考虑所有的经纬线，计算整个地球的顶点、面和边并使用多面体欧拉定理公式，你会得到2！

现在，看看这个四面体如何产生球体的细分，其中四面体的顶点、边和面对应于细分的顶点、边和面，细分有4个顶点、6条边和4个面。多面体欧拉定理适用于四面体。

同样，立方体产生了球体的8个顶点、12条边和6个面的细分。同样的事情也发生在其他的柏拉图多面体上。

基本上，曲面S到曲面S '上的任意同胚将S的一个细分映射到S '的一个细分上，将S的顶点映射到S '的顶点，S的边映射到S '的边，S的面映射到S '的面，以一对一的方式。

在拓扑学中，同胚是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构。

我们可以得出结论，细分的欧拉示性数在同态下是保持不变的，因为它遵循V−E + F的值保持不变。因此，我们也可以说曲面的欧拉示性数是拓扑不变的。

对于二维

欧拉示性数也适用于二维几何。

画一条线。它有2个顶点，1条边和0个面。所以V - E + F = 1。

假设这两个顶点是A和B，在平面上的任何地方放一个顶点C（不是在边AB上）。画边BC。现在，我们有3个顶点，2条边，0个面。同样，V - E +F = 1。现在，用一条边连接C和A。现在我们有3个顶点，3条边和1个面，V -E + F = 1。

欧拉示性数在所有这些情况下都存在。现在，如果我们假设整张纸是一个面，除了刚才得到的三角形，我们得到V - E + F = 2。