粒子自旋背后的数学秘密

我想问大家一个问题。

牛顿是“发明”了万有引力定律，还是“发现”了万有引力定律？爱因斯坦是“发明”了相对论，还是“发现”了相对论？

好多朋友都习惯使用“发现”，但是，更加正确的观点应该是：发明。

因为无论是万有引力定律，还是相对论，抑或是其他理论，都不是真正的“客观实在”，只是我们人类发明的一种描述自然规律的方式，或者说，我们对自然规律的一种假设。

甚至于，有些被我们摒弃的理论，也并不是因为她错了，而是跟她的替代者相比，她太复杂了。

比如，地心说。以运动相对的观点来看，我们完全可以认为太阳是围绕地球在运转的，这只不过是观察角度的不同而已。但是，跟日心说比起来，以地心说为出发点描绘的天体运动轨迹实在是太复杂了，实在是没有这个必要，这就是我们选择日心说的原因。

我再问大家一个问题。

勾股定理，是发明，还是发现？

这一次的答案，应该是“发现”。因为数学定理，是不依赖任何外部条件，绝对的客观存在，一经证明，就拥有绝对的正确性。这一点有别于科学理论，从逻辑上讲，科学理论只有“未证伪”，而不能“被证明”。

在这宇宙里，到目前为止，我们发现的唯一的绝对客观存在，只有数学！

这件事令人着迷，她似乎暗示了数学在这个宇宙中超然的地位。

越是观察微观世界，我们越是惊叹于数学的有效性，我们甚至还没有对量子物理做出完备而合理的解释，就已经建立了精确有效的数学模——这件事情本身就耐人寻味。

比如粒子的自旋，她究竟是什么，我们尚不清楚，但是她肯定不是粒子的自转——首先粒子不是一个球形，其次，如果粒子是在自转，她的表面速度将超过光速，这显然是违反相对论的。所以这个自旋并不是自转，她是一个粒子的內在性质，专业的说法是“内禀性质”。就像一个粒子的质量和电荷一样。

但是为什么她要叫自旋这个名字呢？以电子为例，当我们在磁场中对电子进行测量，我们发现电子会在磁场中发生偏转，就如同电子本身也具有南北磁极，这个现象跟电子在自转类似——我们知道带电物体的自转，是会产生磁场的。所以所谓自旋，就是：看起来像在自己旋转。

但是你要知道，她真的没有转。

可能你会问了，她不就是有磁极吗？磁铁也有磁极，这有什么稀奇的？

自旋可不仅仅是有磁极这么简单，在电子通过磁场的实验中，我们发现，电子好像知道我们测量的方向一样，并只在我们测量的方向，表现出南北极。

如下图所示，电子通过垂直方向上的磁场，按照经典物理的理论，电子入射时磁极方向与垂直磁场的夹角应该是随机的，因此电子通过磁场以后，应该大致平均分布在一条直线上。但是事实上却并非如此，电子神奇的分布在上下两端，这说明其入射的时候的磁极方向，只在垂直方向上。事实上，无论你的磁场在哪个方向上，入射的电子的磁极，都会在这个方向上，就好像电子事先知道了你的测量方式并提前做了准备一般——你可能已经听说过了量子世界怪力乱神的林林总总，想必不会为此感到惊讶了，是的，这很量子。

到目前为止，量子自旋缘何如此，尚无定论，但是，其数学模型，却惊人的有效。这里我们对其数学模型作一个简化，让大家来感受一下。

当一个电子通过磁场时，其磁极可能有如下图所示的两种情况。

我们用向量来表示其量子状态。

这个向量表示电子的磁极为 N-S。我们从下图可以看出还存在另外一种情况 S-N，我们用向量表示为

这一步没有什么难度，就是一种表达方式而已。因为我们知道量子在进入磁场前，并不知道其在哪个方向上，那么其实她的状态是两种量子态的叠加，我们写作：

其中c1和c2，是一个跟概率相关的数字，其平方就是进入了磁场以后，坍缩为某个量子状态的概率，并且 ，我们称之为“概率振幅”，当然你不用太过关心这个，只要知道她的平方是概率就行了。

我们如果以坐标系的观点来看待上式，那么上式实际上就是一个标准的平面直角坐标系，(0,1) 和 (1,0 )对应了x和y轴。我们可以把量子状态(c1,c2)看成是这个坐标系下的坐标。

当电子通过磁场时，电子的量子状态会发生坍缩，变成一个确定的磁极方向，即

或者

接下来，如果我们让这个电子再通过水平方向的磁场，会如何呢?

我们用数学的眼光来看待她，因为磁场的变化，电子在进入水平磁场前，其在水平方向上的量子态，需要表达为在新的坐标系下的坐标（向量）。那么，这个仅仅是一个坐标变换的问题。

我直接给出答案，如果一个坐标系旋转角度 a，原来的坐标在新的坐标系下的映射为

如果你感兴趣可以自行推导。

其矩阵乘法的表达方式为。

那么，从垂直磁场进入水平磁场，我们的坐标系旋转了多少角度呢？你可能会说，从垂直变水平，不就是旋转了90度吗？这里需要说明一下，你看我们磁极南北极的夹角是多少度？是180度。而我们用来用来表示其状态的标准基，或者说我们的坐标系的x轴和y轴，其夹角是90度。所以这就有个简单的对应关系就是，坐标系旋转角度 = 磁场旋转的角度的1/2。

这个1/2，我们称之为：自旋的量子数。根据基本粒子种类的不同，自旋的量子数也不一样，比如，光子的自旋表现为光子的偏振，而偏振两个方向是成90度的，所以对应到坐标系，坐标角度 = 偏振角度。也就是说，光子自旋的量子数为1。我们把自旋量子数为1/2 和 1/2 奇数倍的粒子，称为费米子，把自旋量子数为 1 和 1 的倍数的粒子，称为玻色子。

回到我们的坐标系变换问题上来，所以，磁场虽然旋转了90度，对应的坐标系旋转角度，应该为 45度，即 。我们把她代入我们的映射的公式，坐标 (1,0) 在经过了坐标变换以后，变成：

还记得这个坐标意味着什么吗？这意味着“概率振幅”，她的平方，即 1/2，就是坍缩成这个量子状态的概率。

所以，我们的计算结果，在数学上告诉我们，一个已经坍缩为确定状态的电子，我们再换一个与之测量方向垂直的方向来进行测量，她会再次的变为一个量子叠加态，其最终在测量方向上坍缩的概率，N-S 与 S-N ，各为 1/2 。

真实情况真是如此吗？是的，正是如此！试验的结果与数学模型的预言完全一致。

这套基于线性代数的模型，非常成功的描述了量子的状态，如果你考虑到我们对量子自旋的本质尚不明了，这样的成功就着实令人惊讶了。

你已经看到了数学的魔力了，在当今，你越走进理论物理的深处，你越接近纯粹的数学，这在古典物理的时代，是难以想象的。现在，多少科学家穷尽了一生的精力去寻找一个没有内在性质只有相关关系的、绝对的基本粒子，然而有一个候选者，却一直在我们的身边——只是这个看法如此的反直觉，以至于我们难以接受——她就是数学本身。

是的，我的意思是：基本粒子，很可能，就是数学本身。

这个宇宙，很可能就是一个数学结构而已。[注]

[注]

关于宇宙是一个数学结构的观点，出自于麻省理工学院宇宙学家马克斯泰格马克。他认为：宇宙中的一切，都是数学结构的一部分。所有物质的特性包括空间本身，归根结底，都只是一个数学结构。