角平分线有关的辅助线

【方法说明】

从一个角的顶点出发，把这个交分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图图3-2-1，射线OP为∠AOB的平分线，则∠AOP＝∠BOP＝1/2∠AOB．如图3-2-2，在△ABC中，∠A的平分线 AD交∠A的所对的边BC于点D，所得的线段AD叫做△ABC的角平分线．

注意：角的平分线为射线，三角形的角平分线为线段．

图3-2-1                     图3-2-2

角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．

【方法归纳】

1．如图，OP为∠AOB的平分线，点C为OP上一点，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，则CD＝CE．

图3-2-3                     图3-2-4

2．如图，OP为∠AOB的平分线，点C为OA上一点，CE⊥OP于点E，交OB于点D，则△COE≌△DOE．

图3-2-5                     图3-2-6

2．如图，OP为∠AOB的平分线，点C为OP上一点，CD∥OB交OA于点D，则CD＝OD．

图3-2-7                     图3-2-8

注：“角平分线＋平行线＋等腰三角形”模型，知二得一．即①若OP平分∠AOB，CD∥OB，则CD＝OD；②若OP平分∠AOB，CD＝OD则CD∥OB；③若CD∥OB，CD＝OD，则OP平分∠AOB．

2．如图，OP为∠AOB的平分线，点C，D分别为OP，OA上的点，在OB上取一点E，使得OE＝OD，则CD＝CE．

图3-2-9                     图3-2-10

图3-2-11                     图3-2-12

【典型例题】

1．图6，直线y＝－2x－10与x轴交于点A，直线y＝－3/4x交于点B，点C在线段AB上，⊙C与x轴相切于点P，与OB切于点Q．

求：（1） A点的坐标；（2） OB的长；（3） C点的坐标．

图3-2-13

【解题过程】

解：（1）∵直线y＝－2x－10与x轴交于点A，∴当y＝0时，即－2x－10＝0，解得x＝－5，

∴点A的坐标为（－5，0），