七下第1讲 平行线判定&性质精析(1)———掌握几个诀窍

写在前面

时间飞快，转眼开学已经一周，不知各位同学是否已经调整好状态，全身心投入新学期的学习，本讲作为七下第一讲，我们重点对平行的判定和性质做一个归纳．

一、知识梳理

1、三线八角

直线AB，CD被直线EF所截，形成了8个角，其中，

同位角有：∠1与∠5，∠2与∠6，

∠3与∠7，∠4与∠8；

内错角有：    ∠3与∠5，∠4与∠6；

同旁内角有：∠3与∠6，∠4与∠5；

2、三种角的认识方法

3、平行线的判定方法书写

(1)∵∠1＝∠2（已知）

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

(2)∵∠3＝∠2（已知）

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

(3)∵∠2＋∠4＝180°（已知）

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

4、平行线的性质书写

(1)∵AB∥CD（已知）

∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）

(2)∵AB∥CD（已知）

∴∠3＝∠2（两直线平行，内错角相等）

(3)∵AB∥CD（已知）

∴∠2＋∠4＝180°（同旁内角互补，两直线平行）

二、几个诀窍

01

找准截线

例1： 如图，填空： (1)找出∠B的所有同位角，并说明是哪两条直线被哪条直线所截得到的． (2)∠4和∠5是同位角吗？如果是，说明是哪两条直线被哪条直线所截得到的，如果不是，请说明理由． (3)找出其余的同位角． (4)找出所有的内错角，并说明是哪两条直线被哪条直线所截得到的． (5)找出∠A的所有同旁内角，并说明是哪两条直线被哪条直线所截得到的． 分析： 两条直线被第三条直线所截，要找同位角，内错角，同旁内角，关键在于，找两个角的共线边！ 通常，共线边所在直线就是截线，那么剩下的两条边所在直线就是被截直线． (1)要找∠B的同位角，则关注它的两条边，BG，BA，则可以任选一条作为截线，如选BG为截线，则过BG上的点F，点C的直线FD，CE就可作为被截直线，同理，如选BA为截线，则过BA上的点D的直线DE，DF就可作为被截直线，则四个同位角很快可以确定． (2)两个角若是同位角，首先要满足组成这两个角的边，有一条是共线边，即一眼看去，只能有“三线”． (3)(4)(5)，注意图中一共有几个角，数字标注的有9个，单独字母标注的有2个，还有两个是组合角∠ADF，∠BDE，一共13个角，一个一个数，做到不重不漏． 解答： (1)∠B和∠1是直线BG和直线DE被直线AB所截形成的同位角． ∠B和∠ADF是直线BG和直线DF被直线AB所截形成的同位角． ∠B和∠6是直线BA和直线FD被直线BG所截形成的同位角． ∠B和∠9是直线BA和直线CE被直线BG所截形成的同位角． (2)不是，∠4的两条边是BD，DF，∠5的两条边是DE，EC，不满足三线，不是同位角． (3)∠A和∠4，∠A和∠BDE，∠A和∠5，∠2和∠8，∠6和∠9，∠7和∠8． (4)∠A和∠9是直线BA和直线CG被直线AC所截形成的内错角． ∠1和∠5是直线AD和直线CE被直线BE所截形成的内错角． ∠2和∠3是直线AE和直线DF被直线DE所截形成的内错角． ∠2和∠BDE是直线AE和直线BD被直线DE所截形成的内错角． ∠3和∠7是直线DE和直线BF被直线DF所截形成的内错角． ∠4和∠6是直线BD和直线FG被直线BF所截形成的内错角． ∠5和∠9是直线DE和直线CG被直线CE所截形成的内错角． ∠7和∠ADF是直线BF和直线AD被直线DF所截形成的内错角． (5)∠A和∠1是直线AE和直线DE被直线AD所截形成的同旁内角． ∠A和∠2是直线AD和直线DE被直线AE所截形成的同旁内角． ∠A和∠ADF是直线AC和直线DF被直线AD所截形成的同旁内角． ∠A和∠2是直线AD和直线DE被直线AE所截形成的同旁内角． ∠A和∠8是直线AD和直线CF被直线AC所截形成的同旁内角． ∠A和∠B是直线AC和直线BC被直线AB所截形成的同旁内角．

例2： 如图所示，BE是AB的延长线，量得 ∠CBE＝∠A＝∠C. (1)由∠CBE＝∠A，可得____∥____， 根据是_____________________. (2)由∠CBE＝∠C，可得____∥____， 根据是_____________________. (3)由∠CBA＋∠C＝180°， 可得____∥____， 根据是_______________________. (4)由∠CBA＋∠A＝180°， 可得____∥____， 根据是_______________________. 分析： 对于这种看似是平行四边形背景的题目，大家非常容易错，这里给出了角的条件，我们就可以马上找到共线边，作为截线，两个角的另外两条边作为被截直线，就是平行线． 如∠CBE＝∠A，发现它们的共线边是AE，则AE就是截线，两条被截直线AD，CD平行． 解答： (1) CB∥DA，同位角相等，两直线平行 (2) CD∥AB，内错角相等，两直线平行 (3) CD∥AB，同旁内角互补，两直线平行 (4) CB∥DA，同旁内角互补，两直线平行

02

找准被截截线

例3： 如图，AB∥EF∥CD，EG∥BD，则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有 (        ) A．6个          B．5个 C．4个          D．3个 分析： 有了平行，其实就有了2条被截直线，这样，再去找截线，就能找到另外的角． AB∥EF，则AB，EF为被截直线，EG为截线，找到∠1的内错角∠2．EG∥BD，则EG，BD为被截直线，EH，BG可为截线，找到∠1的同位角∠5，∠2的内错角∠3，AB∥CD，AB，CD可为截线，找到∠5的内错角∠6，别忘了∠3的对顶角，∠4． 解答：B

例4： 如图， 若AC∥EF，则∠A＋∠______＝180°， ∠______＋∠______＝ 180°． 若∠2＝∠______ ，则AE∥BF． 若∠A＋∠______＝180°， 或∠______＋∠______＝180°，则AE∥BF． 分析： 由两直线平行，可知被截直线，然后再确定截线，问题迎刃而解．有时，截线不止一条．AC∥EF，又明确∠A，则截线必然经过点A，这里要找同旁内角，则两个角应该在截线AE同旁．AE∥BF，又明确∠2，则则截线必然经过点D，截线为EC，这里要找同位角．最后，确定截线为AB或EF即可秒解． 解答： 若AC∥EF，则∠A＋∠AEF＝ 180°， ∠F＋∠FBA＝ 180°． 若∠2 ＝∠4，则AE∥BF． 若∠A＋∠ABF＝180°， 或∠F＋∠FEA＝180°， 则AE∥BF．

03

格式规范选讲

从本章起，我们真正进入几何证明的书写，因此，格式必须规范．所以，我们来归纳一些常见的证明理由．

(1)平行线的判定和性质(共6条，不再详述)

(2)已知(写在条件后)

(3)角平分线定义，垂直定义

(4)邻补角定义(两个相邻的角和为180°)，

平角定义(几个相邻的角的和为180°)

(5)等量代换

(∠1＝∠2，∠2＝∠3，则∠1＝∠3)

(6)等式性质

(∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠1－∠3＝∠2－∠4）

(7)同角的余角(补角)相等

(∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，则∠1＝∠3)

(8)平行于同一直线的两直线平行

(a∥b，b∥c，则a∥c)

其中，(5)(8)有些同学易混淆，前者是数量关系，后者是位置关系，要分清．(5)(7)也要注意，∠2是中间角，前者和∠1，∠3都相等，后者和∠1，∠3都互余(互补)，是不一样的．

(4)中，邻补角是针对两个角，平角可以由几个角的和组成．

我们来看2个例题，学会写证明的几何语言．

例5： 如图，点B在AC上，BD⊥BE，∠1＋∠C＝90°，射线CF与BD平行吗？用两种方法说明理由． 分析： 要证CF∥BD，则要找相等的同位角或内错角，或互补的同旁内角，我们发现截线只能是BC，则只能利用同位角∠2和∠C，或同旁内角∠DBC和∠C． 解答： 法1 ∵BD⊥BE(已知) ∴∠DBE＝90°(垂直定义) ∴∠1＋∠2＝180°－∠DBE＝90°(平角定义) ∵∠1＋∠C＝90°(已知) ∴∠2＝∠C(同角的余角相等) ∴CF∥BD(同位角相等，两直线平行) 法2： ∵BD⊥BE(已知) ∴∠DBE＝90°(垂直定义) ∵∠1＋∠C＝90°(已知) ∴∠1＋∠2＋∠DBE ＝90°＋90°＝180°(等式性质) 即∠DBC＋∠C＝180° ∴CF∥BD(同旁内角互补，两直线平行)

例6： 如图，AC平分∠BAD，∠ACB＝∠BAC，∠D＝90°，EF⊥CD，试说明BC∥EF. 分析： 由∠D＝90°，EF⊥CD，可证AD∥EF，则再证AD∥BC，利用平行的传递性即可得证． 解答： ∵AC平分∠BAD(已知) ∴∠1＝∠3(角平分线定义) ∵∠1＝∠2(已知) ∴∠2＝∠3(等量代换) ∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行) ∵EF⊥CD(已知) ∴∠4＝90°＝∠D(垂直定义) ∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行) ∴BC∥EF(平行于同一直线的两直线平行)