长达两千年的接力——《欧几里得之窗》书评

因为我算是个《几何原本》的爱好者，所以当我收到湖南科学技术出版社的《数学圈》丛书时，迫不及待要读的第一本就是这本《欧几里得之窗》。更何况，该书作者列纳德·蒙洛迪诺还和霍金一起编写过《时间简史<普及版>》《大设计》。

提到《几何原本》或者欧几里得，你第一时间会想到什么？我估计大多数人都会想到初等几何，或者是第五公设。但这本书告诉我们，这是远远不够的。作者之所以把这本书命名为《欧几里得之窗》，是因为要通过这扇窗给我们展示一个更广阔的天地。这本书讲到了五次革命：抽象及证明思想的诞生、代数和几何的统一、弯曲空间的发现、相对论、弦论。或许有的人会觉得奇怪：为什么最后两部分是物理而不是数学？事实上，数学——尤其是几何学——从来就是物理的一部分：古人研究自己能直接体验到的空间结构，现代人研究各种尺度的空间结构。二者的区别仅在于，古人认为自己能直接体验的空间结构就是我们这个宇宙唯一的形式，而现代人有了更多的可用选项，另外古人没有发展出趁手的研究工具，这里指的是坐标系和解析几何。从以上这个简短得不能再简短的介绍中我们可以看出，从《几何原本》中发展出来的东西远远不止非欧几何。

即使是谈非欧几何，这本书也有其独到之处。我们知道，所谓非欧几何，是和第五公设密切相关的。这一研究几乎贯穿了（西方的）整个初等数学史。关于这一场接力，书中这样写到：

2000 多年来，人类代代延续，国界不断变化，政治体系兴盛又衰亡，地球已经绕着太阳转了约 1 万亿英里，可思想家们仍然致力于研究欧几里得几何学，他们偶像的理论没有任何问题，只有一个微小的质疑点：讨厌的平行公设不能被证明吗？

从这段话以及书中所介绍的具体内容，我们更能体会到数学家项武义的名言：“若以理解大自然为志趣，并能世代相承、精益求精，则大自然的基本结构的至精至简、至善至美是可望可及的。”

一般的介绍非欧几何的科普作品，也就仅谈到这条公设，只有非常专业的书才会谈到第二公设与平行线的关系——如果没有第二公设作保证，平行线就不存在了。但是这本书还提到了另外两条公理（公设）：相近重合的东西是全等的，以及任意两点必可用直线连接。而一旦引入球面几何，“中间”的概念就失效了。笔者觉得，这也许启发了希尔伯特在他的公理体系里专门设立顺序公理。

即使是介绍人们对于第五公设的研究，这本书也选取了另外的角度，比如今天我们可能更多的是介绍鲍耶、罗巴切夫斯基而非高斯，尽管后者是非欧几何先驱之一，但毕竟在生前没有发表过非欧几何的著作。但是这本书对高斯作了详细介绍。

纵观全书，这不但是一本非常好的科学史普及读物，而且是非常好的科普著作，可以帮助一般读者了解很多科学概念，既包括比较经典的，也包括非常现代的，而且难度适中，内容广泛。最后值得一提的是，作者和译者的文笔非常好，读之绝无晦涩感，流畅到了让人无法释卷的程度。