梅梅学习：重视数学思想方法的教学(李海东)
(2011-03-25 09:41:39)
摘 要：本文通过对二元一次方程组和反比例函数的教学中数学思想方法的剖析，阐述了数学思想方法隐喻性、层次性、活动性、过程性的特点，并提出要结合引入过程、问题设计、小结等环节加强数学思想方法的教学．
关键词：数学思想方法；教学设计
“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”初中第六次课题会议，于2010年4月8～10日在江苏省南通市召开。本次会议与人教版初中数学课标教材修订工作征求意见会同时举行。参加本次课题会研究课和评课活动的代表，除课题组成员外，还有部分人教版初中数学课标教材培训讲师团的成员，南通市初中数学教师等共200多人。
本次会议以“消元──二元一次方程组的解法”为题，由北京五中分校曹自由老师、山西省阳泉市第十九中学翟秀蕊老师各上了一堂现场研究课；以“反比例函数的图象和性质”为题，由天津市新华中学李庆老师、江苏省南通市第一初级中学许磊老师各上了一堂现场研究课。这两个课题都是常规的教学内容，内容看似简单，但其中蕴含着丰富的数学思想方法。在研究课后的评课、讨论环节，除了对教学设计和课堂教学的成败得失进行了客观的分析点评外，很多老师都谈到了这两个课题所蕴含的思想方法。会后，课题组成员的反思文章中，思想方法也是大家主要研究的内容。现将本次会议会上讨论和会后反思的成果整理出来，以供研究和讨论。
一、对数学思想方法的认识
“数学思想方法”一词，在数学教育、数学教学领域已被广泛使用。对于什么是数学思想方法，数学家和数学教育工作者有诸多论述。概括起来，大家通常是从“数学思想”和“数学方法”两个角度进行阐述的。数学思想是对数学对象的本质认识，是从某些具体的数学内容（如概念、命题、规律）和数学认识过程中提炼出来的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。数学方法是指数学活动中所采用的各种方式、手段途径、策略等。
数学知识、数学方法、数学思想是数学知识体系的三个层次，它们相互联系，协同发展。数学知识是数学思想方法解决问题所依附的材料；数学方法是解决问题的途径、手段，是数学思想发展的前提；数学思想是一类数学方法本质特征的反映，是数学方法的灵魂。数学思想和数学方法是紧密联系的，通常，在强调数学活动的指导思想时称数学思想，在强调具体操作过程时则称数学方法。
对于中学数学中常用的数学思想方法，数学家和数学教育工作者的表述也不尽相同。概括起来，可以分为两类。一类是科学思想在数学中的应用，如分类讨论、分析与综合、归纳与演绎、类比、化归思想等；另一类是数学学科特有的思想方法，如符号与变元表示、模型化、集合与对应、公理化与结构化、数形结合、函数与方程、极限、算法与程序化、概率统计的思想方法等等。
数学思想方法的学习和领悟能使学生所学的知识不再是零散的知识点，它能帮助学生形成有序的知识链，建立良好的认知结构；它是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学观点和文化，是使学生提高数学思维水平，建立科学的数学观念，从而发展数学、运用数学的保证。因此必须重视数学思想方法的教学。在初中数学教学中，数学思想方法的教学可分为三个层次：渗透、介绍和突出。渗透，就是要在具体的数学知识的教学中，融进某些抽象的数学思想方法，使学生对这些思想方法有一些初步的感觉或直觉。例如，对于集合与对应、公理化与结构化、极限、算法与程序化的思想方法等。介绍，就是要把某些数学思想方法在适当时候引进到数学知识中，使学生对这些思想方法由初步的理解，有一定的理性认识。例如，对符号与变元表示、模型化、数形结合、函数与方程、概率统计、分类、化归的思想方法等。突出，就是要在介绍的基础上经常性地予以强调，使学生能加以运用。初中数学教学中要突出的有数形结合、函数与方程、化归的思想方法等。当然，随着学生学习的不断深入，对数学思想方法的要求也是不断深入的。例如算法的思想方法在初中阶段可以结合解方程（组）等进行“渗透”，到了高中就要求是“介绍”甚至“突出”的层次了。
二、做好内容解析，析出教学内容蕴含的数学思想方法
除“核心概念”外，“思想方法”也是本课题研究的重点内容，数学思想方法具有隐喻性的特点，它隐于知识内部，要经过反复体验才能领悟和运用。数学思想方法的教学，首先需要从对教学内容的分析入手，析出其中蕴含的数学思想方法。课题组的教学设计框架中第一条就是“内容和内容解析”，其用意不仅是要在揭示概念内涵的基础上，说明概念的核心，对概念在中学数学中的地位进行分析，还要求对其中隐含的数学思想方法做出明确表述。这就要求我们要理解教学内容所反映的数学思想方法。
1．“二元一次方程祖的解法”教学中的数学思想方法分析
在学习这部分内容之前，学生已学习了一元一次方程，那时要解的是含有一个未知数的一个方程。对于“如何解由含有多个未知数的多个方程组成的方程组”的新问题，自然可以联想到相关的“解含有一个未知数的一元一次方程”的老问题，这是非常自然的思考方法。怎样解决新问题呢？首先就是要设法把复杂的新问题转化为老问题形式，这就是化未知为已知、化复杂为简单、化陌生为熟悉、化困难为容易的化归思想。这里将新问题转化为老问题就是要将含多个未知数的多个方程，转化为含有一个未知数的一个方程，先求出一个未知数，再逐步扩大战果，求出其余未知数。这也是非常自然的思考方法，这种“将未知数的个数由多化少、逐一解决”的思想就是消元思想。确立了解决问题的思路，接下来就是如何实现消元了，也就产生了代入与加减两种消元的方法。而为了实现“代入”与“加减”，还需要具体的代数的恒等变换的方法。
“消元──二元一次方程组的解法”的教学中蕴含的思想方法体现了数学思想方法的层次性的特点，这种层次也反映了对数学内容本质的认识的概括程度的高低。这里，化归是第一个层次，消元是第二个层次，代入和加减是第三个层次，恒等变换是第四个层次。从培养学生良好的思维习惯和方法的角度看，本节课的教学不仅要让学生学会用代入法或加减法解二元一次方程组，更重要的是要引导学生产生和理解消元思想，体会解决新问题的过程（化归）。消元是学生自觉地、主动地理解和掌握代入法、加减法等具体解法的基础，也是避免死记硬背解法程序的关键。
2．“反比例函数的图象和性质”教学中的数学思想方法分析
反比例函数的图象和性质，蕴含着数形结合、变化与对应、类比、转化等丰富的数学思想方法。
首先，反比例函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体．通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质，体现了数形结合的思想方法。反比例函数是自变量和因变量之间具有反比例关系的函数，无论从其概念，还是其性质（在某一象限内，y随x的增大而增大或减小）都体现了变化与对应的函数思想。研究反比例函数的图象与性质时，由“解析式（确定自变量取值范围）”到“作图（列表、描点、连线）”，再到“性质（观察图象探究性质）”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的联系，体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用。
另外，从研究方法上来看，反比例函数的学习也体现了研究函数的一般套路和方法，是继一次函数学习之后的再一次强化。教材中呈现的不论是“函数概念——函数的图象和性质——函数的实际应用”的整体结构，还是具体研究函数概念、函数图象和性质的处理也都是一脉相承的。这种同构对于学生明确学习任务，建立完善的认知结构也将是非常有意义的。正因为如此，研究反比例函数的图象和性质可以类比研究正比例函数的图象和性质来进行。需要注意的是，这里的类比不仅仅有研究内容的类比（包括自变量的取值范围，函数图象的形状、位置，函数的增减性等），更重要的是研究方法的类比，也就是数形结合地研究函数图象与性质的“三步曲”（画出函数图象→从图象上观察函数的性质→用数学语言描述这些性质）。要注意，类比不仅仅要关注“同”，也要关注“异”，“异”才是体现某一知识本质属性的东西。例如，反比例函数图象的不连续性是其与正比例函数图象的一个不同点，它也是反比例函数需要在不同象限内分别讨论增减性的原因，这也是本课学生的认知难点。解决这一难点的办法是要回到解析式上（x≠0），而这正是从“形”到“数”，这也是数形结合的思想方法的体现。
三、精心设计教学过程，有意识地进行数学思想方法教学
数学思想方法具有过程性的特点，它蕴含于数学知识的发生发展过程中，数学概念和原理的形成过程是进行数学思想方法教学的载体，没有“过程”就没有“思想”。数学思想方法还具有活动性的特点，学生头脑中的数学思想方法也是在数学学习活动中逐步形成的，数学思想方法的学习重在体验和领悟，逐步形成用这些思想方法进行思维的习惯。这就要求我们精心设计教学过程，从问题的提出、情景的创设，到教学方法的选择，整个教学过程都要精心设计安排，做到有意识有目的地进行数学思想方法的教学。
1．引入过程重视“先行组织者”的使用，加强研究方法的指导
奥苏伯尔提出：在呈现具体内容之前，先呈现一些密切相关的、包容范围广但又非常容易使人理解和记忆的引导性材料——先行组织者。先行组织者能激活认知结构中已具备的相关概念，使学生认识到它们之间的联系；先行组织者为将要学习的材料提供了一个框架或线索，起到了“导游图”的作用，能使学生对学习进程心中有数，帮助学生建立有意义学习的心向，有助于学生掌握研究问题的方法。
例如，在反比例函数的图象和性质的引入部分，两位老师的教学设计都是类比了正比例函数的图象和性质，先让学生回顾正比例函数的图象和性质，并列出表格，列出解析式、形状、位置、图象趋势、增减性等，接下来类比这些内容研究反比例函数的图象和性质。北京的王玉起、雷晓莉，天津的何志平老师都指出，这样教学也体现了类比的思想，但立意似乎低了些，没有让学生真正体会到研究函数图象和性质的思想方法。事实上，在给出课题后，可以先给学生这样的先行组织者：要研究反比例函数的图象与性质，首先思考我们研究过哪些函数的图象和性质？是怎么研究的？也就是要研究那些问题？研究的方法是什么？这样设问，也是要让学生回顾正比例函数的图像和性质，但显然观点高了，不仅复习正比例函数的图象是什么，有哪些性质，更重要的是让学生明确研究函数图象和性质的的基本套路，要明确研究哪些问题，还要知道研究的方法，这才是对学生进行数学思维策略的引导。这样从整体上概括地思考一下研究的内容和方法，不仅对学生领悟数学思想方法有作用，而且也有助于学生创新精神和实践能力的培养。
2．设计好的问题，让学生经历思想方法的形成过程
要使学生真正理解数学思想方法，必须要有他们自己身体力行的实践，从自己亲身经历的探索思考过程中获得体验，从自己不断深入的概括活动中，获得对数学思想方法的领悟。因此，在数学教学设计中，在运用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”上，要注意提出恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题，结合问题的解决，让学生经历思想方法的形成过程。
例如，人教社宋莉莉老师指出，对于“消元——二元一次方程组的解法”这一内容，两位教师采用了不同的方式引导学生分析求解方程组的思路。曹老师在给出上节课的方程组
并让学生回忆已学过的与解方程有关的知识后，直接让学生尝试自己根据等式的性质求解给定的方程组。缺少了引导学生回忆解一元一次方程中的化归过程，以及要将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的体现化归思想的问题，丧失了一次向学生渗透化归这一重要思想方法的机会。翟老师再结合问题情境得到方程组
和一元一次方程3x－2(143－x)=14后，没有直接对二者进行比较（这种比较有利于发现未知与已知的联系，为学生指明了将未知转化为已知的一种途径），转而另外给出两个二元一次方程，让学生练习用含一个未知数的式子表示另一个未知数。这种引导，不如在解决同一问题的两种解法中寻求联系更加自然，更有利于学生思维的发展。
在教学设计时，还要注意例子的选择。一个好例子胜过百次抽象说教。好例子能给学生的数学活动提供一个“生长点”，使他们在遇到具体问题时能受到例子的启发而想到该怎么做，也有助于结合它们理解解决问题的思想方法。例子的选择要注意指向核心的知识和思想方法。例如，在“二元一次方程组的解法”的教学设计中，两位老师都使用了如
和
的解方程组例子。教师的本意是突出训练整体代换的方法进行消元。实际上，相比化归、消元而言，整体代换更是技巧，如果是方法，也是比前文讲的“恒等变换”还要最低层次的方法。作为二元一次方程组织的解法的第一课时，本节课选择的例题和练习应更关注基本题型，以更有助于学生对基本思想方法的理解。
3．发挥小结的作用，让学生学习的思想方法也纳入认知系统
小结不仅要引导学生归纳知识结构，还要对思想方法进行概括总结，这一点也逐步得到了老师们的重视。但在目前的数学教学中，小结往往“八股化”，教师往往会在小结时提出问题“本节课你学习了哪些数学知识？”“你又学习了哪些数学思想方法？”前文说过，数学思想方法具有“隐喻性”“过程性”的特点，不是给它“贴上标签”，学生就能理解的。在教学过程中需要结合具体内容，在小结时也同样需要结合具体内容。例如，本次研究课曹老师在小结时下面的框图。
这一框图展示了代入消元法解二元一次方程组的具体步骤，可以结合框图回顾解二元一次方程组的过程，渗透算法化、程序化的思想，也可以结合框图总结消元、化归的思想方法。这样处理，使得学生对知识、技能、思想方法的总结融为一体，使得思想方法有了载体，知识技能有了灵魂。
参考文献：
①钱珮玲．数学思想方法与中学数学．北京：北京师范大学出版社，2008：4-6，14-17
②曹才翰，章建跃．数学教育心理学．北京：北京师范大学出版社，2006：176-211
③张奠宙，宋乃庆．数学教育概论．北京：高等教育出版社，2004：197-200
④蔡上鹤．数学思想和数学方法．中学数学，1997（9）：22-24
作者简介：李海东（1973－），男，河北遵化人，课程教材研究所副研究员，人民教育出版社副编审，主要从事中学数学课程教材的研究与编写。
本文发表于《中国数学教育》2011年第1-2期。