2021高加索数学奥林匹克 高级组 中文翻译

第一天

1.将到的所有整数按某种顺序排成一行. 若存在一个整数, 使得它右边没有比他大的数, 就称这个数是"右大"的, 类似地, 若存在一个整数, 使得它左边没有比他大的数, 就称这个数是"左大"的. 已知"左大"的数和"右大"的数都恰有个, 求的最大值.

2.有个非零整除， 且其中任意一个都可以被其余个数的和整除. 求证: 所有这些数的和为.

3.设为正整数, 在平面上标记个不全共线的点. 则这些点至少可以组成多少个三角形?

4.锐角中, 为高, 直线与的外接圆交于点. 已知关于的对称点为关于的对称点为, 求证: 共圆.

第二天

5.三角形的三边长分别为. 已知三边长分别为的三条高的长度的三角形不存在. 求证: .

6.帕莎和沃娃用个球玩游戏. 首先, 他们将这些球排成一行. 随后, 帕莎先开始, 两人轮流给球染色:
在每回合中, 当前玩家可以将任意一个未被染色的球染成红色,或黄色, 或蓝色.随后进入下一回合,由对方进行操作. 当所有球都被染色后, 若存在个连续的球,颜色各不相同, 则帕莎获胜, 否则沃娃获胜.
问谁有必胜策略?

7.平面上有四个石子. 如果他们恰可以组成一个凸四边形的四个顶点, 则进行如下操作:
选择其中一个石子, 过作不含的对角线的垂线, 将沿移动, 但不能移动到与其他两个石子共线的位置上.

已知四个石子初始形成了矩形 , 经过若干次操作后, 他们形成了矩形, 且与相似但不全等. 求证: 是正方形.

8.给定一个由无限行和无限列组成的网格表. 对函数列, 将 的值填入网格表第行第列的单元格中. 若 满足, 网格表中的每个数都是正整数, 且每个正整数恰出现一次, 就称这个函数序列是"好的". 是否存在一个"好的"函数数列, 使得其中每个函数都是首一的次整系数多项式?

译者注:第2,6两题分别为2021高加索数学奥林匹克 初级组 的3,6题