【解题研究】（2021浙江衢州24）折叠•十字模型•分类讨论•全等与相似

2021浙江衢州24题

【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：△BCE≌△CDG．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若  ，CE＝9，求线段DE的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，H两点，若  k，  ，求  的值（用含k的代数式表示）．

试题分析

（1）根据AAS证明三角形全等即可．
（2）如图2中，连接EH．关键是借助第一问的结论，证出：HF＝HG，然后根据HF2+FE2＝DH2+DE2，求出DE即可解决问题．
（3）如图3中，连接HE．由题意  ，可以假设DH＝4m，HG＝5m，设  x．分两种情形：①当点H在点D的左侧时，②当点H在点D的右侧时，如图4中，分别利用勾股定理构建方程求解即可．
备注：
■处理折叠问题要把握两点：
（1）对应角相等、对应边相等；
（2）对应点所连的线段被折痕垂直平分．
■正方形中的十字模型：

(1)如图①，经过顶点：在正方形ABCD中，AE⊥BF，借助“同角的余角相等”可证△ADE≌△BAF，从而可得AE＝BF．

(2)如图②，不经过顶点：在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB、BC、CD、DA边上的点，其中EG⊥FH.构选全等三角形，可得EG＝FH.(注意：在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段，若垂直，则相等；若相等，则垂直)

■矩形中的十字模型：

(1)如图①，经过顶点：在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，其中AE⊥BF.探究AE与BF的关系；

(2)如图②，不经过顶点：在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的点其中EG⊥FH，探究EG与FH的关系；

题目解析

（1）证明：如图1中，
∵△BFE是由△BCE折叠得到，
∴BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BCE＝90°，
∴∠ECF+∠CGD＝90°，
∴∠BEC＝∠CGD，
∵BC＝CD，
∴△BCE≌△CDG（AAS）．
（2）如图2中，连接EH．
∵△BCE≌△CDG，
∴CE＝DG＝9，
由折叠可知BC＝BF，CE＝FE＝9，
∴∠BCF＝∠BFC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠BCG＝∠HGF，
∵∠BFC＝∠HFG，
∴∠HFG＝∠HGF，
∴HF＝HG，
∵  ，DG＝9，
∴HD＝4，HF＝HG＝5，
∵∠D＝∠HFE＝90°，
∴HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴52+92＝42+DE2，
∴DE＝  或﹣  （舍弃），
∴DE＝  ．
（3）如图3中，连接HE．
由题意  ，可以假设DH＝4m，HG＝5m，设  x．
①当点H在点D的左侧时，
∵HF＝HG，
∴DG＝9m，
由折叠可知BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠ECF+∠CGD＝90°，
∴∠BEC＝∠CGD，
∵∠BCE＝∠D＝90°，
∴△CDG∽△BCE，
∴  ，
∵  k，
∴  ，
∴CE  FE，
∴DE  ，
∵∠D＝∠HFE＝90°
∴HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴（5m）2+（  ）2＝（4m）2+（  ）2，
∴x  或  （舍弃），
∴  ．
②当点H在点D的右侧时，如图4中，
同理HG＝HF，△BCE∽△CDG，
∴DG＝m，CE  FE，
∴DE  ，
∵HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴（5m）2+（  ）2＝（4m）2+（  ）2，
∴x  或  （舍弃），
∴    ．
综上所述，  或  ．

解后反思

1.本题解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
2．关注“基本图形” 提升“思维品质”：
一个平面几何图形，常可分解成若干个基本图形．因此，基本图形是构成复杂图形的细胞．证明平面几何问题时，若从基本图形入手，先将题中图形分解(构造)成几个基本的几何图形，然后充分利用这些基本图形的性质去证，常可思路广阔，容易证明．
3．纵观各地的中考试题，常常出现一类提炼所得的基本模型相关的题目．平时注意从习题中提炼常用的基本模型，并通过识模、用模，从而强化对基本图形的理解．
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