例谈分类讨论思想的三大原则四个步骤
分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，是研究数学问题时经常使用的思想方法，正确地对事物进行分类，通常应从实际问题出发，选取恰当的标准，然后根据对象的属性把它们不重不漏地划分为若干类，讨论则是在所分类别的各种情况下分别进行研究.
数学中的分类讨论思想，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。下面先通过生活中对垃圾的分类，来理解数学上的分类讨论思想：
我们首先根据“垃圾是否对人体健康或自然环境带来危害”为分类原则，可以将垃圾分成两大类：有害垃圾和无害垃圾，我们将有害垃圾（比如废电池、油漆、过期药品等）放置于红色的有害垃圾回收桶中，那么其余的垃圾又如何放置呢？我们还得对无害垃圾作进一步分类，根据原则“是否可以利用回收”分成两类，可回收垃圾和不可回收垃圾。我们将可回收垃圾（比如塑料、纸类、金属等一些具有利用价值的物质，这些垃圾可以被纳入废品回收系统，然后作资源再生处置之后，进行循环使用）放进蓝色的可回收垃圾桶中，最后我们根据“是否容易腐烂”为原则，将不可回收垃圾进行再分类，分成厨卫垃圾和其他垃圾，厨余垃圾是可以作为植物养分的肥料使用的，通过土壤掩埋后厨余垃圾可被大自然微生物和植物分解吸收，可以起到废物再利用的作用。我们将这些垃圾扔进绿色的厨卫垃圾回收桶中，剩下的垃圾（比如砖瓦、陶瓷、渣土等难以回收的废弃物）就扔进灰色的其他垃圾回收桶中。
从上面这个垃圾分类的实例中，我们明白了如下几个问题：
1. 解决一个问题，如果面临多种选择的时候，需要将其进行分类
2. 在分类时，要分层逐级进行，不可以越级。
3. 每一级分类，所有子项之和（有害垃圾+无害垃圾）必须等于母项（垃圾），并且所有子项都必须全部列出.
4. 每一级分类，只能执行同一个标准，标准不同，分类的结果也会不同.
实际上，这就是我们所说的分类原则了，归纳如下三大原则：
(1)同一性原则：即不遗漏；
(2)互斥性原则：即不重复；
(3)层次性原则：即按同一个标准来分类，逐级进行，层次分明；
学生在解答与分类讨论相关的习题时，由于分类标准模棱两可，可能导致分类时出现漏解或重复等情况。只有严格遵循分类的原则才能使得分类讨论的结果完整无缺。下面通过数学中的一些具体实例来进行说明：
例1：将自然数分为奇数和偶数，这是正确的分类，如果将自然数分为素数与合数，这就出错了，因为1既不是素数，也不是合数. 即所有子项之和不等于母项.不满足原则1
例2：将实数分为正数和负数，这也是不对的，因为0既不是正数也不是负数，出现了遗漏. 不满足原则1
例3：将实数分成非正数和非负数，这个分类是错误的。其中非正数和非负数都包含有0，出现了重复，不满足原则2
例4、将三角形分成三边不等的三角形和三边相等的三角形（即等边三角形），这种分类是错误的，它的分类标准是：按照各边是否相等。而实际上，三角形的三条边是否相等，要分为如下三种情形：一是三边各不相等，二是只有两边相等，三是三边都相等。很显然上面的分类遗漏了第二种情形，不满足原则1。由于等腰三角形的定义是：至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形，那么上面第二、第三两种情形可以归为一类，即等腰三角形，第一种情形可以改名为非等腰三角形。如下图（按边分）：
如果将三角形分为锐角三角形，钝角三角形和等腰直角三角形，这种分类也是错误的，其中等腰直角三角形中的“等腰三角形“是按照边相等来分的，而“直角三角形”是按照“最大的角与直角的大小关系”来分类的，上面的分类执行了两个不同的标准，不符合原则3.按角来分，如下图所示：
在初中阶段，也可以直接分成三类，如下图所示：
好，理解了分类的三大原则之后，我们来欣赏几大经典例题：
例1：如图，OC是∠AOB的平分线，且∠AOD＝90°，图中∠COD的余角是____________；
从图可知，∠AOD=90°，那么∠COD的余角就是∠AOC ，这是“直接“根据余角的定义得到的答案，而实际上，∠AOC=∠BOC，所以，∠BOC也是∠COD的余角，这是根据等量代换，“间接”获得的答案。可见，本题是一种思维的“分类”问题，属于隐性分类问题，在中考试题中，很多都是这种题型。可见，分类思想，可以使得思维有序，有条理。多进行这方面的训练，容易使得我们的思维变得严密，答题时不会出现漏解的情形.
例2：在△ABC中，AB=AC, 点D在直线BC上移动（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE, 连接CE，∠DAE=∠BAC=α,∠BCE=β ，则α与β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论
本题的关键是：点D是一个动点，要用动态思维来考虑问题，点D在直线BC上运动，有哪几种情形呢？请观看下面的动画：
从动画可知，可以分为三种情形，
即
1. 点D 在线段BC上
2.点D在线段BC 的延长线上
3. 点D在线段BC 的反向延长线上
我们发现，第1和第2两种情形，β没有发生变化（可以利用三角形外角定理和内角和定理，证明出∠ACE是一个定角），第3种情形，β变为钝角，因此，本题的答案实际上只有两个。于是我们将其分成两类，第一类是：点D在射线BC上；第二类是：点D在射线BC 的反向延长线上 。利用△ABD≌△ACE（解题技巧：手拉手全等模型一拖二，后面专门讲解），可以知道，第一种情形，α+β=180°，第二种情形，α=β ，可见利用分类讨论思想，可以避免漏解.
我们再结合例题2，归纳一下分类的四个步骤：
⑴确定分类讨论的对象，即对哪个参数进行讨论；如例2中的“直线BC上的动点D”的具体位置，是我们讨论的对象.
⑵对所讨论的对象进行合理的分类，理清分类的界限，选择分类标准做到不重复，不遗漏，标准要统一，分层不越级；
如例题2中，根据点D的运动情形，可以分成三种情形，但经过分析，我们选择“射线的反向”为分类标准，最终分成两类.
⑶逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决；
如例2，先画出两种情形的静态图形，分别进行求解. 这种情形属于图形的位置不确定的情形，一般的解题套路是分类—画图—求解
⑷归纳总结，将各类情况总结归纳。