2021年第十七届沙雷金几何奥林匹克通讯赛

1.(8年级) 如图，中, . 过作于. 连结与中点交于.
点为中点, 线段上一点满足. 已知, 求周长.

2.(8年级) 如图，中, 边的垂直平分线分别与交于点 , . 点分别为 与 外心. 求证:  .

3.(8年级) 如图，锐角中, 高交于垂心 为中点. 过作平行线与 分别交于点. 求证:   与 三线共点.

4.(8年级) 正方形内接于圆, 为劣弧上一点. 过作正方形的内切圆的切线, 与分别交于点. 直线分别与线段交于点. 求证: 中, 过点的中线与线段垂直, 且其长度等于的一半.

5.(8/9年级) 给定平面上的五个点. 求这些点所能组成的相似三角形个数的最大值.

6.(8/9年级) 三个圆都与给定的一个角相切. 其中,半径最小, 半径最大. 圆与另外两个圆 , 分别切于点 , .设为过点且与 相切的直线. 若圆 与 和均相切, 求与的内公切线的交点的轨迹.

7.(8/9年级) 如图，内心为,内切圆与分别切于点. 直线上两点满足. 直线交于点. 求证: 直线平分.

8.(8/9年级) 如图，等腰中,,过作射线, 在上取点, 使得在内部, 且. 证明:.

9.(8/9年级) 如图，平行四边形中, 在边上分别取点, 使得.取中点, 直线交与点. 求证:.

10.(8/9年级) 求证:对任意三角形, 它的两条等温线的交点不可能在其中点三角形的内部.

注: 两条直线关于为等温线是指, 他们与的公共点均关于相应的边的中点对称.

11.(8/9年级) 标记一个圆内接五边形的4条边的中点, 随后擦除这个五边形.
请恢复这个五边形.

12.(8-10年级) 有十个硬币, 其半径分别为 厘米.将其中两个放置在桌面上, 使他们相切. 随后, 我们逐个添加硬币, 并保证每个新添加的硬币与桌面上至少个已有硬币相切. 那么, 能否通过某种方式添加, 使得其中个硬币的圆心共线?

13.(9-11年级)外心为,外接圆为 ,内心为.点为弧中点, 直线与 再次相交于点. 点所对的旁切圆与边切于点.在外接圆上取点 ,使得. 求证: 的交点在上.

14.(9-11年级)中,所对的旁切圆分别为.设 与 的与 不同的外公切线为. 类似的,定义. 在上取点, 过点作 异于的切线,与交于点. 类似地, 过点作 异于的切线,与交于点.求证:与 相切.

15.(9-11年级) 圆内接五边形 中, 为内一点, 满足 ,且求证: AM, BP, CQ三线共点.

16.(9-11年级) 两圆 与 在点处内切. 的弦与切于点.设为圆心.  
求证: 过的圆平分线段.

17.(9-11年级) 锐角中, 点 , 分别为劣弧与劣弧中点.过 , 的一个圆与 , 分别交于点 与 与 (以上各点互不相同). 已知
求证: .

18.(10/11年级) 非等腰内切圆为,过点的中线为. 已知与边切于点,线段与再次相交于点. 过作的切线,它与直线围成三角形. 求证:  的内切圆与 的外接圆相切.

19.(10/11年级)在凸四边形内部取一点, 已知与的内切圆的内公切线交于点, 已知与的内切圆的内公切线交于点,求证:  共线.

20.(10/11年级) 已知 映射将平面上的每个三角形映射到一个圆, 且满足以下条件:(我们只考虑非退化的三角形和半径不为零的圆)  
(i)设为任意一个相似映射, 若 将三角形射到了三角形上, 则 同样将圆射到了圆上.
(ii)设为平面上任意四个点, 则圆 共点.
证明: 对任意三角形 圆为它的九点圆.

21.(10/11年级) 已知 既有内切圆也有外切圆.给定顶点 内心 外接圆 以及外心 ,请恢复整个梯形( 只用直尺). 22.(10/11年级)给定一个凸多面体以及其外部一定. 对多面体上任意一点, 以为直径构造一个球. 求证: 多面体上有唯一的一个点, 位于以上所有球的内部.

23.(10/11年级)给定空间内的6个点. 对其中任意两个点, 若他们所连的线段与其他四个点组成的四面体的表面有公共点, 就讲这个点涂成红色. 求证: 红色点的个数为偶数.

24.(11年级) 已知一个三棱台与某个球相切, 两个底面上的切点分别为.设棱台的高为, 两个底面的外心分别为,外接圆半径分别为. 求证: