三次方程求根公式

设一元三次方程

在复数集中的根是x1,x2,x3，那么

其中

。早在古巴伦的文献中，已有一些三次、四次的数字方程。7世纪初期，我国唐朝的数学家土孝通所著的《缉古算经》一书记载了不少三次方程。阿拉伯人也很早就研究过三次方程。但是在上千年的漫长岁月里，人们寻求一般三次方程的求根公式没有进展。直到1494年，意大利数学家帕克里还宣称一般的三次方程是不可能解的。1500年波伦亚的数学教授菲洛终于找到了形如

的三次方程的一般解法。但他向外保密，只是秘传给他的一个学生。在菲洛死后近十年，这个学生以上述三次方程求解问题向当时意大利数学家塔塔里亚挑战。塔塔里亚也找到了方程（1）的一般解法，并公开了结果。但他也不肯公布推导过程。这件事为数学物理教授卡丹所知，便要塔塔里亚把解题的秘诀告诉他，塔塔里亚在卡丹发誓绝对保密的情况下，将证明方法告诉卡丹。卡丹不顾他的誓言，把这个解法发表在他的《重要的艺术》一书中，为此塔塔里亚向卡丹提出责难，引起双方一场论战。三次方程求根公式现在仍称为卡丹公式。塔塔里亚与卡丹的解法如下：作变换

，使方程（1）化成

令

，得

解这个二次方程，得出

后，就可得到 y 的六个值，然后再利用关系式

就可得到 x 的值。根据卡丹公式，我们就能解一般的三次方程：

。首先把它改写为

。令

就可化成缺平方项的三次方程

这里

。