异质性分析：系数平滑可变模型

2024-04-26 12:03:25

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作者：许曼曼 (中山大学)
邮箱：451689616@qq.com

编者按：本文摘译自下文，特此致谢！
Source：Rios-Avila F. Smooth varying-coefficient models in Stata[J]. The Stata Journal, 2020, 20(3): 647-679. -PDF- -PPT-

1. 引言

异质性是实证研究中常见的问题，以教育回报率的研究为例，异质性是指教育对不同人群收入的影响是不同的，即不同人群的教育回报率不同。解决异质性问题的常见方法是分组回归或引入交互项 (参见第 9 小节相关推文)，以及推文面板变系数模型：每家公司都有一个斜率中介绍的方法。

本文介绍另一种更加方便的方法—— 系数平滑可变模型 (SVCM)。这是一种半参数估计模型。该模型同时具有参数模型完整性和非参数模型灵活性的优点，因此可以更好反映问题的异质性。

2. 非参数估计模型

非参数估计模型如上式所示，其中的估计方法主要有两种：基于核函数的方法与基于转换函数的方法。

2.1 核函数方法：局部核权重估计

其中，是带宽向量，是核函数。

核函数给予离点近的观察值更高的权重，而带宽向量决定使用多少信息用于条件均值的估计。随着的增加和趋近于 0，用于估计的有效观察值的数量快速减少。

2.2 以原变量的转换形式与交叉项作为解释变量

其中转换函数通常是多项式或样条函数。和的维度所代表的调节参数决定了估计量的准确性。但随着解释变量和维度的增加，待估系数的数量呈指数方式增加，使得模型自由度快速下降，偏误增大。

2.3 非参数估计模型的优缺点

非参数估计虽然灵活性较强，不需要设定过多假设，但缺点也较为明显：

“维度的诅咒”：随着解释变量与维度的增加，待估系数的数量快速增加，要求的数据集也越来越大；
模型估计与检验的方法计算量很大，不适用于大样本数据；
适用于大样本的与非参数模型相关的 Stata 命令较少。

因此，本文主要根据 Rios-Avila (2020) 的文章介绍一种半参数估计模型，即系数平滑可变模型 (SVCM) 及其 Stata 命令。

3. SVCM 建模与估计方法

SVCM 将解释变量分为两类，其中与的线性关系是基于的非线性函数，即是条件下的线性函数，系数是的非线性函数。相比非参数估计，SVCM 通过设定对的线性影响是基于的条件，减少了 “维度诅咒” 的影响。

与非参数模型的估计思路相似，的估计方法有两种，即使用关于的局部多项式核函数和样条函数。本文介绍的模型是只有一个平滑变量的 SVCM，估计方法为核函数估计。

在本文的 SVCM 中只包含一个变量，是包含常数项的其他解释变量的集合。由于平滑变量只有一个，带宽向量是一个常数。根据核函数的方法，得到的局部常数估计量 (LC) 为：

矩阵形式：

考虑到接近边界时 LC 估计量可能有较大的偏差，故可以使用局部线性估计量 (LL) 替代，模型由 (1) 变为下式：

式 (3) 表示近似的可以通过关于的线性扩展式求得，且越接近，近似值越准确。

定义为的第行，表示中的每个变量都乘以辅助变量。那么类似于式 (2)，和的局部线性估计量 (LL) 可表示为：

4. SVCM 模型选择

4.1 模型选择方法：去一法-交叉验证

SVCM 估计中最重要的参数是带宽。带宽越大，说明更多的观察值被使用，则估计量的方差越小，但同时模型自由度下降，估计量的偏误也越大。反之，小带宽下估计量的偏误小，但方差大。

标准的 OLS 回归就相当于选择了一个无穷大的带宽以保证估计量的方差最小，但有偏。而简单地限定平滑变量为某一特定值的样本下的 OLS 回归则相当于选择一个的带宽，方差大而偏误小。因此，通过交叉验证选择最优的带宽是必要的。有关去一法和交叉验证的介绍，参见：

Stata：刀切法-去一法-Jackknife 简介
Stata：交叉验证简介

根据去一法-交叉验证 (LOO-CV)，最优带宽在取值最小时取得：

其中，是给定带宽，除去第个观察值后得到的 LOO-CV 系数估计量，是对应的拟合值，是用以调整分布不均问题的权重。

从上式来看，求出最优带宽似乎需要很大的计算量 (N 组系数)，但实际上估计不需要那么多的估计方程，原因主要有两点：

一是平滑变量虽然是连续变量，但在数据集中的记录形式往往是离散型的，因而待估系数比样本数少很多；

二是估计不一定需要估出，只需估 LOO 残差，而该 LOO 残差可以由 SVCM 残差通过 leverage statistic [] 得出：

其中，是局部估计矩阵的第个对角元素：

因此，定义为包含所有不同值且从小到大排序的向量，可以重写为如下式子 (估计方程数量从 N 降为 J)：

若使用式 (6) 计算过程还是较慢，可以使用 block/binned LL regression 获得的近似值，那么估计方程数量将更少，从 J 降为 P 。

4.2 Stata 实操-模型选择

4.2.1 命令介绍

vc_bw 和 vc_bwalt 命令安装：

search vc_bw

vc_bw 和 vc_bwalt 的语法结构相同：

vc_bw[alt] depvar [indervars] [if] [in], vcoeff(svar) ///    [knots(#k) km(#km) bwi(#) trimsample(trimvar) kernel(kernel) plot]

depar：因变量；
indepvar：所有对有条件线性关系的解释变量；
vcoeff(svar)：svar 为平滑变量，vcoeff() 明确用于平滑可变系数估计的变量；
knots(#k) 与 km(#km)：可选项，表示以最小化近似值的方式得出最优带宽。使用 knot(-2) 表示对平滑变量所有不同值进行交叉验证估计；
bwi(#)：设定初始的带宽值 # 以加快寻找最优带宽的过程；
trimsample(trimvar)：给定变量名称，生成虚拟变量以识别出用于交叉验证的子样本；
kernel(kernel)：设置核函数以得到估计所需的权重，默认为高斯函数；
plot: 画出带宽和与之相对应的交叉验证值的关系图。

4.2.2 命令使用

以某地的月度酒驾传票数量数据集 (dui.dta) 为例。假设认为酒驾传票数量 (citations) 受到该地是否处在大学区 (college)、酒精饮料是否为税收商品 (taxes)、城市水平 (csize) 等变量的影响，若要研究不同水平下的罚款 (fines) 对于该线性关系的影响，则可以建立以罚款为平滑变量的 SVCM。

*数据地址：https://gitee.com/arlionn/data/blob/master/data01/dui.dta

. webuse dui.dta

(Fictional data on monthly drunk driving citations)
. sum

以 citations 为因变量，college、taxes、csize 为解释变量，fines 为平滑变量，建立系数平滑可变模型。首先，通过交叉验证获得最优带宽。

. vc_bw citations taxes college i.csize, vcoeff(fines)Kernel: gaussianIteration: 0 BW:   0.5539761 CV:   3.129985Iteration: 1 BW:   0.6870520 CV:   3.120199Iteration: 2 BW:   0.7343729 CV:   3.119504Iteration: 3 BW:   0.7397456 CV:   3.119497Iteration: 4 BW:   0.7397999 CV:   3.119497Bandwidth stored in global $opbw_Kernel function stored in global $kernel_VC variable name stored in global $vcoeff_

命令执行结束后，会列示出交叉验证迭代过程中的几项带宽和交叉验证值，从中可以看出，最优带宽是 0.7398。而且程序会将最优带宽、核函数、平滑变量名称等信息分别储存在名为 opbw_、kernel_、vcoeff_ 的宏中。

5. SVCM 模型估计与统计推断

5.1 模型估计：局部核权重估计-LL估计量

获得最优带宽后，要估计模型 (3)，将与平滑变量值带入核函数得到权重，再根据式 (4) 即可得到系数的 LL 估计量。

5.2 统计推断：方差-协方差矩阵估计

5.2.1 渐进估计

其中，是第个元素为的对角矩阵，文献对核回归中的尚无较多表述，通常假定或，其中是模型中所有需要拟合的系数数量。

与 HC2 (heteroskedasticity-consistent 2) 和 (HC3) 等价的方式，用或代替矩阵第个元素中的，。

5.2.2 Paired Bootstrap

其中，和包含每次 bootstrap 样本的系数和。

5.3 Stata 实操-模型估计与统计推断

5.3.1 命令介绍

vc_reg 和 vc_preg 均对应渐进的方差矩阵，其中：

vc_reg 使用的误差为局部残差，得到稳健标准误 (Robust)；
vc_preg 使用的误差为全样本残差，得到 F 稳健标准误 (F Robust)。

vc_bsreg 则对应配对 bootstrap 标准误和置信区间。

当估计单个等式时，vc_reg、vc_preg 和 vc_bsreg 会生成数据集 (delta)，包含辅助变量 () 和标准化核权重 (kwgt)。

vc_reg、vc_preg 和 vc_bsreg 的语法结构相同：

vc_[bs|p]reg depvar [indepvar] [if] [in] [, vcoeff(svar) ///

bw(#) kernel(kernel) cluster(varname) robust hc2 hc3 k(#) klist(numlist)]

kernel() 与 bw()：设定核函数与带宽，否则默认使用交叉验证后储存在内存中名为 opbw_、kernel_、vcoeff_ 的宏中；
k(#) 或 klist(numlist)：k(#) 表示选用平滑变量第 # 百分位的值；klist(numlist) 表示选用多个平滑值分别进行 LL 回归，此时系数与方差-协方差矩阵的估计结果分别储存在 e(b#) 和 e(V#) 中；
hc2 或 hc3：生成 hc2、hc3 标准误，否则命令 vc_reg 和 vc_preg 分别默认生成稳健标准误、F 稳健标准误；
cluster(varname)：生成聚类标准误，不能与 hc2、hc3 一起使用；
reps(#)：对于命令 vc_bsreg，可以使用 reps(#) 设定迭代次数，否则默认为 50 ；
pci(#)：对于命令 vc_bsreg，程序执行后会自动储存 95% 的置信区间，也可以通过 pci(#) 设定置信区间百分位。

5.3.2 命令使用

对平滑变量 fines 第 10，50，90 百分位的值 () 进行 SVCM 建模，以探究变量 taxes，college，csize 对于 citations 的条件效应。

regress citations taxes college i.csize fines, robust     //OLS回归

vc_reg citations taxes college i.csize, klist(9)          //SVCM-平滑值9-Robustvc_reg citations taxes college i.csize, klist(10)         //SVCM-平滑值10-Robustvc_reg citations taxes college i.csize, klist(11)         //SVCM-平滑值11-Robust

vc_preg citations taxes college i.csize, klist(9)         //SVCM-平滑值9-F Robustvc_preg citations taxes college i.csize, klist(10)        //SVCM-平滑值10-F Robustvc_preg citations taxes college i.csize, klist(11)        //SVCM-平滑值11-F Robust

vc_bsreg citations taxes college i.csize, klist(9) seed(1) reps(100)     //SVCM-平滑值9-Bootstrapvc_bsreg citations taxes college i.csize, klist(10) seed(1) reps(100)    //SVCM-平滑值10-Bootstrapvc_bsreg citations taxes college i.csize, klist(11) seed(1) reps(100)    //SVCM-平滑值11-Bootstrap

对结果进行整理后可以得到如下的表格 (表格 1)：

----------------------------------------------------------------------------

'Number of monthly drunk driving citations'

OLS SVCM SVCM SVCM

(1) (2) (3) (4)

fines=9 fines=10 fines=11

β(z) β(z) 一阶导 β(z) 一阶导 β(z) 一阶导

----------------------------------------------------------------------------

taxes -4.494 -6.377 3.008 -3.959 1.093 -3.843 -0.0505

Robust se (0.582) (1.147) (1.373) (0.496) (0.823) (0.736) (0.788)

F Robust se (0.582) (1.059) (1.210) (0.493) (0.787) (0.711) (0.751)

Bootstrap se (0.638) (1.322) (1.525) (0.498) (0.967) (0.812) (0.833)

college 5.828 9.871 -4.578 5.305 -3.191 3.797 -1.024

Robust se (0.588) (1.113) (1.318) (0.516) (0.896) (0.888) (0.963)

F Robust se (0.588) (1.021) (1.164) (0.513) (0.836) (0.860) (0.915)

Bootstrap se (0.634) (1.201) (1.381) (0.470) (0.972) (0.884) (0.926)

csize:medium 5.492 6.734 -1.299 5.284 -2.332 3.051 -2.196

Robust se (0.532) (0.973) (1.125) (0.535) (0.785) (0.782) (0.843)

F Robust se (0.532) (0.936) (1.069) (0.538) (0.786) (0.772) (0.831)

Bootstrap se (0.547) (0.932) (1.265) (0.588) (0.760) (0.833) (0.958)

csize:large 11.24 14.99 -4.863 10.60 -3.779 7.784 -2.691

Robust se (0.571) (1.146) (1.373) (0.510) (0.852) (0.750) (0.764)

F Robust se (0.571) (1.071) (1.233) (0.509) (0.822) (0.741) (0.751)

Bootstrap se (0.610) (1.095) (1.323) (0.553) (0.809) (0.749) (0.812)

fines -7.690 -8.256 -4.906 -3.673

Robust se (0.384) (1.327) (0.782) (0.816)

F Robust se (0.384) (1.211) (0.792) (0.804)

Bootstrap se (0.405) (1.473) (0.787) (0.810)

Constant 94.2223.96 16.80 12.93

Robust se (3.949) (1.168) (0.474) (0.746)

F Robust se (3.949) (1.099) (0.478) (0.737)

Bootstrap se (4.117) (1.255) (0.501) (0.819)

----------------------------------------------------------------------------

Observations 500 243.19 341.64 203.37

----------------------------------------------------------------------------

6. SVCM 模型后估计

6.1 命令 vc_predict 介绍

6.1.1 语法结构

vc_predict depvar [indepvars] [, vcoeff(svar) ///    yhat(newvar) res(newvar) looe(newvar) lvrg(newvar) ///    stest bw(#) kernel(kernel) knots(#) km(#)]

yhat(newvar)：生成拟合值；
res(newvar)：生产残差；
looe(newvar)：生成 LOO 残差 (leave-one-out error)；
lvrg(newvar)：生成 leverage statistic；
stest：实行近似 F 检验，并报告检验结果；
kernel() 与 bw()：设定核函数与带宽，否则默认使用交叉验证后储存在内存中的宏；
knots(#) 与 km(#)：以最小化近似值的方式求最优带宽，可加快运行速度。

6.1.2 模型基本统计数据

命令 vc_predict 除了可以获取拟合值等数据，还会自动报告 SCVM 的一些基本统计数据，具体来看：

(1) Log of MSLOOE (Log mean squared leave-one-out errors)

已知 LOO 残差由式 (5) 可得，当没有输入 knots() 和 km() 选项时，命令 vc_predict 报告准确的 MSLOOE 对数值：

当输入 knots() 和 km() 选项，命令将报告近似的 MSLOOE 对数值：

(2) 拟合优度 (Goodness-of-fit)

vc_predict 报告的拟合优度的定义方式与标准线性模型的类似，其中是常规拟合优度，由于可能为负值，命令还报告了 Henderson 和 Parmeter (2015) 所用的拟合优度。

另外，当使用选项 knots() 和 km() 以加快运行速度时，式中的被替换为。

(3) 模型自由度与残差自由度

定义的投影矩阵使得，根据 Hastie 和 Tibshirani (1990)，模型的自由度可以由下式两种方式估得：

在线性回归中，，因而两个自由度相同。而在核回归中，不是对称矩阵，两者不同，其中通常被作为近似的模型自由度使用，而作为残差自由度。

在 SVCM 中，投影矩阵的定义为：

其中是的矩阵，且当时第个对角元素取 1 ，否则取 0 。因此自由度分别为：

vc_predict 运行后分别报告模型自由度与残差自由度。当使用选项 knots() 和 km() 时，将由替代式 (10) 中的。

(4) 期望核观察值 (Expected kernel observations, E(Kobs))

在非参数估计中，模型估计中被使用到的有效观察值的数量下降速度越快，使用的解释变量数量越多，带宽越小。期望核观察值 E(Kobs) 是用以表示模型估计过程中被使用到的有效信息的数量的统计值，文献中通常使用作为其估计值，但这种方式在某些情况下是不准确的，因而 Rios-Avila (2020) 提出另一种基于标准化核权重的统计量以表示数据集中信息使用的程度。其中标准化核权重的定义如下：

的值落在 [0,1] 之间，能够直观的表示估计过程中观察值信息的利用程度。例如，的观察值的标准化核权重为 1，说明这些观察值的信息在 LL 估计中被全部使用；而若某观察值的标准化核权重为 0，说明其对于 SVCM 的估计没有贡献任何信息。因此，利用可以估观察值的有效数量。对于某个平滑值 z ，有效的观察值数量可估为：

由于有效观察值的数量在分布密集的部分自然较多，在分布稀疏部分数量较少，因而对于平滑变量的全样本，有效观察值的总数即期望核观察值 E(Kobs) 可以用简单的标准化核权重的加权平均来估计，即：

其中是当时的观察值数量。当使用选项 knots() 和 km() 时，期望核观察值是对更少的 P 个平滑值所对应的标准化核权重进行加权平均，而不是对 J 个平滑值。

特别地，当平滑变量是连续型时，该统计量有如下两个性质：

这两条性质也符合一般对于带宽对估计过程中信息使用量影响的直观理解，即至少有一个观察值被用于模型估计，而带宽接近于无穷时，所有的数据都将被用于模型估计。

6.1.3 假设检验

除了报告上述的模型统计数据外，vc_predict 还可以通过选项 stest 进行基本的假设检验。命令执行的检验是 Hastie 和 Tibshirani (1990) 使用近似 F 检验 (approximate F test)，将 SVCM 与如下四个模型相比较：

Model 0:

Model 1:

Model 2:

Model 3:

其中 q 是中包含常数项的解释变量个数。根据式 (11) 定义为 SVCM 的残差自由度，为模型 0、1、2 或 3 的残差，为 SVCM 的残差，则近似的 F 统计量的定义为：

该检验的原假设是模型 0、1、2 或 3 为正确模型，为 SVCM 是正确模型。当使用选项 knots() 和 km() 时，式中的替换为近似中所对应的残差项。

6.1.4 命令使用

. vc_predict citations taxes college i.csize, vcoeff(fines) stest

Smooth Varying coefficients model

Dep variable : citations

Indep variables : taxes college i.csize

Smoothing variable : fines

Kernel : gaussian

Bandwidth : 0.73980

Log MSLOOER : 3.11950

Dof residual : 477.146

Dof model : 18.684

SSR : 10323.152

SSE : 37886.159

SST : 47950.838

R2-1 1-SSR/SST : 0.78471

R2-2 : 0.79010

E(Kernel obs) : 277.835

Specification Test approximate F-statistic H0: Parametric Model H1: SVCM y=x*b(z)+e Alternative parametric models: Model 0 y=x*b0+g*z+e F-Stat: 8.24705 with pval 0.00000 Model 1 y=x*b0+g*z+(z*x)b1+e F-Stat: 5.80964 with pval 0.00000 Model 2 y=x*b0+g*z+(z*x)*b1+(z^2*x)*b2+e F-Stat: 0.75977 with pval 0.65174 Model 3 y=x*b0+g*z+(z*x)*b1+(z^2*x)*b2+(z^3*x)*b3+e F-Stat: -2.07399 with pval 1.00000

**非参数模型 (结果略)reg citations taxes college i.csize fines //OLS npregress kernel citations i.taxes i.college i.csize fines, kernel(gaussian)  //Full nonparametric Kernel

从报告结果可知，SVCM 的模型自由度为 18.7，残差自由度为 477.15。比 OLS 回归模型的大 ()，而比全非参模型的小 ()。另外，期望核观察值为 277.8 ，表示平均而言，每一次局部回归都使用了约一半的样本数据。

从近似 F 检验的结果可以看出，在 5% 的显著性水平下，SVCM 模型优于模型 0 和 1，但不能拒绝平滑系数的二次方交叉项与三次方交叉项模型 (即模型 2 和 3)。另外，观察到模型 3 的 P 值为 1 ，说明三次方交叉项模型优于 SVCM。

6.2 命令 vc_test 介绍

6.2.1 检验

由于近似 F 统计量 (16) 的分布无法得知，Cai 等 (2000) 提出了另一种通过 wild bootstrap 来获得统计量经验分布的假设检验方法，其统计量与 (16) 相似但没有调整自由度：

检验的假设与近似 F 检验的相同，当统计量大于临界值时，拒接原假设。

6.2.2 语法结构

vc_test depvar [indepvars] [if] [in] [, vcoeff(svar) ///

bw(#) kernel(kernel) knots(#) km(#) degree(#d) wbsrep(#wb)]

degree(#d)：设定原假设中的模型，#d 可以为 0、1、2 或 3，分别对应模型 (12)-(15)，若无设定，默认为 degree(0)；
wbsrep(#wb)：设定获取统计量的经验分布时 wild bootstrap 的次数，默认数值为 50。此外，命令还会报告统计量经验分布的第 90、95、97.5 百分位的临界值以供检验推断。

6.2.3 命令使用

由 vc_predict 的近似 F 检验结果知，在 5% 的显著性水平，SVCM 优于模型 0 和 1 而劣于模型 2 和 3。因此接下来使用命令 vc_test 对中间的模型 1 与模型 2 做进一步的检验。

//检验模型 1. vc_test citations taxes college i.csize, degree(1) wbsrep(200) seed(1) (Estimating J statistic CI using 200 Reps)

Specification test.H0: y=x*b0+g*z+(z*x)*b1+eH1: y=x*b(z)+eJ-Statistic      :0.16869Critical Values90th   Percentile:0.0938295th   Percentile:0.1035197.5th Percentile:0.10685

//检验模型 2 . vc_test citations taxes college i.csize, degree(2) wbsrep(200) seed(1) (Estimating J statistic CI using 200 Reps)

Specification test.H0: y=x*b0+g*z+(z*x)*b1+(z^2*x)*b2+eH1: y=x*b(z)+eJ-Statistic      :0.01410Critical Values90th   Percentile:0.0117795th   Percentile:0.0149097.5th Percentile:0.01725

检验与近似 F 检验的结果一致，但结果较详细：在 97.5% 显著性水平下也可拒绝模型 1；而模型 2 在 10% 水平被拒绝，在 95% 水平下不可被拒绝，说明引入平滑系数二次方的交叉项的模型可能与 SVCM 没有明显优劣之分，但本文仍使用 SVCM 探究酒驾传票受到的条件效应。

7. SVCM 可视化

7.1 vc_graph 命令简介

vc_graph 能够使用命令 vc_[bs|p]reg 执行后储存在内存 e() 中的系数、方差、置信区间等数据，绘制系数或系数的一阶导与平滑变量的关系图。语法结构如下：

vc_graph [varlist] [, ci(#) constant delta xvar(xvarname) graph(stub) rarea ci_off pci addgraph(str)]

varlist：SVCM 中所有解释变量的子集；
ci(#) 或 ci_off：ci(#) 可以通过输入数字 0-100 设定置信区间的百分位，否则默认为第 95 百分位；也可以使用 ci_off 选项在图形中免去置信区间；
constant：该选项可绘画常数项与平滑变量的关系图；
delta：绘画 varlist 中变量一阶导的系数与平滑变量的关系图，否则默认绘画变量本身的系数。此外，同时使用选项 delta 与 constant，可绘画辅助变量的系数图；
xvar(xvarname)：该选项可绘画平滑可变系数与 xvarname 的关系图，其中 xvarname 为 SVCM 所用平滑变量经过单调函数转换所得的变量；
graph(stub)：该选项提供一个存根，用作已创建绘图的前缀，这些绘图保存在内存中。默认值是 graph(grph)，即连续地对绘图进行编号；
rarea：使用 “面积” 来估计置信区间，默认情况下使用 rcap；
pci：该选项与 vc_bsreg 一起使用时，会绘制基于百分位数的置信区间，而不是基于正态分布的区间，此选项不能与 ci() 同时使用；
addgraph(str)：在图形中增加一个点，比如输入 vc_graph x1, addplot(scatter g x1)，会生成一个包含点 (g, x1) 的关系图。

7.2 vc_graph 命令的使用

在上文中，已使用命令 vc_[bs|p]reg 对三个平滑值进行模型估计，要绘画出系数与平滑值的关系图以更直观地反映罚款对条件效应的影响，需要对更多的平滑变量值进行模型 SVCM 估计，这可以通过设定 vc_[bs|p]reg 中选项 klist() 的值来完成。

//对z=7.4~12的24个平滑值进行 SVCM 估计. vc_preg citations taxes college i.csize, klist(7.4(.2)12)  Estimating SVCM over 24 point(s) of referenceSmoothing variable:  finesKernel function   :  gaussianBandwidth         : 0.73980vce               : robustEstimating Full modelMore than 1 point of reference specifiedResults will not be saved in equation form but as matrices

vc_graph taxes college i.csize //系数 β 与 z 的关系图 (图1)

graph combine grph1 grph2 grph3 grph4

graph export fig1.png, replace

vc_graph taxes college i.csize, delta //系数一阶导与 z 的关系图 (图2) graph combine grph1 grph2 grph3 grph4 graph export fig2.png, replace

得到的关系图分别如下所示：

由表格 1 第一栏的 OLS 回归结果可知，整体而言，当酒精饮料被列为税收商品时，该地区每月的酒驾传票数量会下降 4.5 次。结合图 1 可知税收对于传票数量的这种效应在罚款条件下的变化范围为 5~15，且在罚款低时税收的效应更大，当罚款上升至 10 以后，税收的条件效应不再变化，这与图 2 中当罚款大于 10 时接近 0 相一致。

类似地，当该地区建有大学的时候，每月的酒驾传票数量会上升 5.8 次，大学的这种条件效应随着罚款的增加而减小，变化范围为 5~15，且当罚款高于 1 1时，是否有大学对传票的条件效应不再变化。

城市水平为中等对于传票次数的影响相对于城市水平为高等时的影响较小，且由其始终接近 0 可知，中等的城市水平基于罚款的条件效应基本保持不变。高等的城市水平对于传票次数的条件效应则明显随着罚款的增加而减小，变化范围为 10~30。

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9. 相关推文

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安装最新版 lianxh 命令：
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