一次函数的几何性质

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01坐标系重要公式:

虽然这两个公式好像是高中知识,好像是超纲,但是初中完全可以理解

其实这两个公式在数轴的时候就已经可以介绍了,只不过讲坐标系的时候进行知识的迁移和升华(加上勾股定理)。总之就是易得

02一次函数的高宽比:

高宽比就是函数上任意两点的铅锤高度和水平宽度的比值,也有叫纵横比(纵和横貌似只是突出了方向属性,高和宽只突出了长度属性,我觉得更科学应该叫纵高横宽比)

我们发现只有一次函数的高宽比是恒与点的位置无关的,也就是只和k 有关,高宽比就等于k的绝对值(所以k也叫斜率(倾斜程度))

(这一点可以结合实际问题去理解,比如vt图像啊什么的)

下图k变化,高宽比变化

下图高宽比不变。

刚也说了高宽比是k的绝对值。也就是高宽比相等时候k不一定相等,也可能互为相反数。如下两图

因为b 的变化就是直线平移(而且可以看做横着平移也可以看做竖着平移,也可以看做任何方向的平移),也就是说平移不改变k(和高宽比),也就是平行直线k相等。

垂直直线的高宽比是互为倒数的,那么它们的k之间也能发现一些关系:互为负倒数

03开锁法:

什么是开锁法?如下题:怎么做?

当然可以看做B旋转90度,但是这样的坐标特点不明显啊?!

之前也讲过垂直策略,构造三垂直即可计算了。

有么有更简单的方法(或者更神奇),回到刚才的旋转90度,如果绕着原点旋转的话,那两个点的坐标就特别了。(哪特别?不用我说吧)

这样可以口算做标,其实不需要辅助线了。

因为过程分为三步(1拿出来对准位置,2旋转,3放回去),和开锁的三步差不多(也是1拿出来对准位置,2旋转,3放回去),故名开锁法。(我也是拜读万伟华老师的大作学习的)

04关于直线对称的点和直线

刚刚是旋转,那么对称呢?(点平移就不说了左减右加,上加下减),如图:已知一条直线和一个点,怎么求它的对称点呢?利用对称的性质即可。

抓住垂直和中点

显然直线是由两个点确定的,如果B的对称点确定也就是AB的对称直线确定了。(不喜欢交点A也可以从新找一点求对称点啊)

而且显然,一条直线关于另一条条直线对称,所得直线的斜率只跟他俩的斜率有关啊?所以可以得到一下斜率关系(记不住就别记了)。也就是知道两个斜率就可以直接求第三个斜率。(不知道公式也可以先求对称点再确定直线啊)

05暴力建系,解析法:

有了关于一次函数的这些知识,以后在做几何问题的时候(计算),可以采用建立坐标系的方法。这种方法的特点是:简化了分析过程,增加了计算过程。有点像杠杆原理的“省力费距离,费力省距离”,鱼和熊掌不可兼得!可以根据自己擅长的方向来选择。

本方法适用于每个点坐标都能求出来的几何题(必须直线型问题,圆弧形是够呛的)。

看一道例题:

常规辅助线:

建系计算:无需辅助线

有的人很鄙视这种方法,觉得它破坏了几何之美,太无脑了。也有人把他当做制胜的法宝。其实自己建立做标系是多数教材都有的内容,只不过大多是建系解决位置实际问题,没有用在几何问题上。其中蕴含的解析几何思维在初中是比较新鲜的,(高中大学就很常见了)。仁者见仁智者见智,这个方法好与不好,您自己说了算,有余力的同学可以提前适应一下!

好了,本次内容写完了,期待下次相遇

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