化圆为方到底可能吗？——超越数
痴老头狱中攻难题
在阴森森的监狱里，坐着一个又干又瘦的老头儿，他一言不发，手里拿着一根木尺和一根绳子，在潮湿的地上又是画直线，又是画圆弧，忙得不亦乐乎。好奇的同伴围上去看热闹，一打听，才知道他叫亚拿撒哥拉斯，是古希腊爱奥尼亚学派有名的大学者。坐牢的事他只字不提，却津津有味地大谈起他的研究：怎样用圆规和直尺画一个正方形，使它和已知圆的面积相等。听的人都禁不住好笑，坐牢就老老实实地坐吧，还要去胡折腾。圆是曲线形，怎么可能画出一个直线形与它面积相等呢？这不是自找罪受！
这些人的说法其实并不一定正确，曲线形就一定化不成直线形吗？请看图1的抛物线，它的方程是y＝-3x^2 +3。这个抛物线和x轴围成一个曲线形（图中阴影部分）。要作一个和它面积相等的正方形，真是易如反掌，只需要作一个边长为2的正方形（虚线所示）就成了。
图1
虽然如此，老头儿的研究却始终没有成功。老头儿后来不知所终，但是他研究的这个问题却传了下来，叫做 “化圆为方”，成为古代“几何三大难题”之一（另外两大难题是“三等分任意角”，“立方倍积”）。
古希腊学者希波克拉底（约公元前460-前377）对“化圆为方”问题非常感兴趣，而且信心十足，认为可以“手到擒拿”。 原来他发现了一个十分有趣的“月形定理”。如图2, △ABC 是一个直角三角形。分别以AC、CB、AB为直径向上方画半圆。根据勾股定理可知：
故容易证得半圆AC＋半圆CB＝半圆AB。（因为圆面积与直径或半径的平方成正比）。
图2
同减去公共部分（没有阴影的部分），就得到月牙形I+月牙形Ⅱ=△ABC。如果AC=CB，则月牙形I=月牙形Ⅱ=(1/2)△ABC。希波克拉底认为，既然比圆形更复杂的月牙形很容易就化成了三角形。那么，圆形化成正方形不是就更加轻而易举了吗？可是，他的如意算盘打错了，到他死的时候也没有能够化圆为方。
将近两千年的时间过去了，无数学者“化圆为方”的种种企图都告失败。到了文艺复兴时代，出了一个大画家兼科学家达・芬奇（1452-1519)，他宣布能够化圆为方，并且可以当众试验。他拿来一个圆柱，底面和已知圆相等，高等于已知圆半径的1/2。他把圆柱在平面上滚动一圈，产生一个矩形（图3）。达・芬奇像变魔术似地指着这个矩形说：“诸位，它的面积就等于已知圆的面积！因为矩形的面积＝2πr・(r/2)= (πr)^2＝已知圆面积。”马上就有人指出，达・芬奇先生是在开玩笑——因为他的这个“作图法”大大违反了圆规直尺的严格限制。不错，达・芬奇毕竟是个艺术大师呀！
图3
两千年的无数次失败，使人产生了怀疑， “嫌疑犯”就是那个π。π是个什么东西呀？它为什么老不肯就范？要弄清“化圆为方”，关键就是要摸清π的底细。这又得回头去，从两千多年前的一桩公案谈起。
勇青年海上遭横祸
古希腊大数学家毕达哥拉斯早年云游各地，后来在意大利的克洛吞定居，并成立了一个半宗教半学术的团体，自己担任领袖和数学教师。团体的纪律森严，谁要是违反了“教规”，可以处以极刑。毕达哥拉斯认为，世界上的万事万物都是由“数”构成的，一切现象都可以归纳成为“整数”或“整数之比”（分数），“整数”和“分数”构成了美妙无比的宇宙。这就是毕达哥拉斯认为天经地义的一套哲学。比如毕氏的弟子们研究了乐音的音阶，他们发现，如果把“中音1”的弦长定为1，则“高音i”的弦长就是1/2，音阶与弦长有如下的妙不可言的分数关系：
图4
他们甚至相信，一切行星在它们的轨道上运行时也一定会发出一种来自天上的、整数比的乐音——天体音乐。
谁知他们的狂热，被一个人狠狠地泼了一瓢冷水，这就是入会不久的希帕斯。希帕斯是个勤奋好学的青年，他善于独立思考，不盲从附合。他学了勾股定理以后发现，如果正方形的边长为1，那么对角线的长度既不能表示为整数，也不能表示为分数。这个前所未有的新数，叫人很伤脑筋，但它的确存在。希帕斯的发现如象一声晴天霹雳，动摇了毕达哥拉斯整个关于数的神秘主义的哲学基础。毕氏大惊失色， 惶恐不安，立刻下令封锁消息。可是怎么封锁得住呢？一传十，十传百，早传开了。毕氏十分恼火，命令他的门徒捉拿希帕斯。希帕斯并不屈服，逃离了这个学会。这群盲从的门徒，紧追不舍，结果在地中海的一只船上抓住了希帕斯。希帕斯并不屈服，逃离了这个学会。这群盲从的门徒，紧追不舍，结果在地中海的一只船上抓住了希帕斯。按照首脑的命令，把希帕斯扔到了海里。
图5
希帕斯发现的新数就是无理数根号2。无理数的发现，是数学上的一次重大突破。对数学作出如此重大贡献的希帕斯，既没有得到“博士学位”，又没有领到“菲尔兹奖”，却得到如此下场，真是数学史上的一大悲剧。
希帕斯死后，人们继续发现了许许多多的无理数。这种数虽然“无理”（既除不尽又不循环），人们还是终于承认了它的存在。它给解方程带来了很大的方便。
刘维尔的惊人发现
整数、分数合称有理数，有理数和无理数有一个共同的性质，它们都可以看作是整系数代数方程的根。比如5/7就是方程7x-5=0的根，2^(1/3)就是方程x^3-2= 0的根，等等。因此，这类数，我们叫它“代数数”。
人们自然会提出这样的问题：有没有不是代数数的数呢？
法国数学家刘维尔（1809-1882）解答了这个问题。他首先从理论上证明了确实有这种非代数数的数存在（这种数取名“超越数”）。接着在1851年，他找到了第一个超越数
（小数点后第1、第2、第6、第24、第120位……处有一个1，其余均为0。）
为了纪念这一重大发现，人们把这个数叫做“刘维尔数”。不久，法国数学家埃米特(1822-1901）证明了自然对数的底
也是一个超越数。
后来人们陆续发现，对数值如log2，三角函数值如sin1°等等都是超越数。1900年，希尔伯特（1862-1943）在著名的一次讲演中提出23个数学问题，其中的第7个问题就是猜测象这种数是超越数。后来在1934年，苏联盖尔冯德和施奈德分别证明了这种数的超越性。
特别使人感到惊奇的是：实数数轴上几乎全部的数都是这种超越数！这就是说，和我们的预料恰恰相反，所有的代数数不但不能够把数轴填满，而且如果把超越数统统抽掉，数轴上就只剩下稀稀拉拉的少得十分可怜的代数数了。这真是有点叫人不敢相信，但事实就是如此！
图6
对于超越数的研究，现在还非常不够。至今数学家还弄不清楚，任意两个超越数之和还是不是超越数呢！
林德曼扫兴收场
绕了这么大一个圈子，现在书归正传，“化圆为方”的作图到底可不可能呢？
现在我们来研究一下圆的面积。圆面积=πr^2，所以关键问题就在π是一个什么样的数了。
如果π是一个整数，比如3，那么化圆为方当然是易如反掌了，可惜不是。
如果π是一个分数，比如22/7，那么化圆为方也很容易解决了，可惜也不是。
如果π是一个无理数呢？那得看是什么样的无理数。用解析几何容易证明，凡是用圆规直尺能够作出的数都是：由表示单位长度的1，经过有限次加、减、乘、除以及开平方所得的实数。比如
等等，都能用圆规直尺作出。而就不可能。所以，在十八世纪只是证明了π是一个无理数的时候，并没有中止那些“化圆为方”的热心者的努力，他们觉得仍然存在一线希望。
1882年，德国数学家林德曼(1852-1939）证明了π是一个超越数，完全否定了“化圆为方”作图的可能性，两千多年来的“公案”才算有了一个收场。不过，这个收场很令那些热衷于“化圆为方”问题的人扫兴。其实，两千多年来人们的劳动并没有白费，“化圆为方”虽然失败了，但是人们在这个过程中逐渐认识了有理数、无理数、代数数、超越数，建立了一个完整的实数系统。它的意义远比“化圆为方”要大得多哩！
由于林德曼的证明过于艰深，一般人很难看懂，因此不少存有侥幸心理的人，仍然继续在那里徒劳无益地寻找“化圆为方”的答案。以致有的科学研究机关三番五次发出声明，拒绝接受审查这一类不可能问题的“论文”。法国天文学家兼数学家阿拉哥，称这种人叫做“害了聪明病”的人， 并且用十劣幽默的口吻写道：“所有国家的科学院，在和追求解决方圆问题的人们作斗争中，发现一个事实，这个病症一般都在春天的时候加剧。”