【初三必读】 线段最值探索 (下) —— 瓜豆原理

近两年来利用“瓜豆原理”解最值问题比较火,笔者曾在暑假特辑中,连续写了3讲,有关直线型,双曲线型的瓜豆原理。

暑假特辑1 瓜豆,一线三等角,手拉手,GIF分析,多角度突破期末压轴题

暑假特辑2 动态GIF破解瓜豆原理3种必考题型(上)——直线型

暑假特辑3 动态GIF破解瓜豆原理(下)——双曲线型

今特以两道圆中最值小题,再续“捆绑瓜豆”之原理,当然也不会忽视其他构造之巧法,建议同学们多角度反思此两小题,以达熟能生巧之境界!

题1:

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,点D是以点A为圆心,4为半径的圆上一点,连接BD,点M为BD的中点,则线段CM长度的最大值为______________.

下面给出三种解法:

解法一:

如图1-1所示,取AB的中点N,连接CN、MN及半径AD;

这里中点N的构造可以说“一举三得”:

一是与题目已知的中点M构成△ABD的中位线模型,从而得NM=1/2AD=2;

二是联系已知的Rt△ABC,构成基本图形“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,从而得CN=1/2AB=5;

三是将目标线段CM锁定在△CMN中,当然也有可能当C、M、N三点共线时,构不成△CMN,这也正是CM取得最值的特殊位置;

由“三角形的三边关系”知5-2≤CM≤5+2,即3≤CM≤7,当且仅当C、M、N三点共线时取得等号,即CM的最大值为7,顺带求出CM的最小值为3;

最后给同学们一个建议,就是同学们要养成检验或验证的好习惯,即验证上面求出的最大值及最小值能否取得,只需要画出相应地图形即可,如图1-2及图1-3所示;

解题后反思:

本题中AB中点N的选取与构造让人印象深刻,可以说真的是发人深省!题目中已经有一个中点M,再取一个中点N构造出“双中点”中位线模型以及直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半,这些基本图形都是处理中点问题常见的构思,最后锁定一个确定两边长的三角形(当然这个三角形也可能不存在),利用三角形三边关系得出目标线段的取值范围与最值,也是处理最值问题常见的手段!

解法二:

如图1-4所示,延长BC至点E,使CE=BC,即点C为BE的中点,又已知点M为BD的中点,连接DE后再次构造出中位线模型,则目标线段CM=1/2ED;

要求CM的最值,问题就转化为了求ED的最值,很明显点E是一定点,点D是定圆⊙A上一动点D的最值问题,这是学生熟知的模型,连接直线EA与⊙A的两个交点即对应两个最值,其中最大值为EA与半径r之和,最小值为EA与半径r之差;而很明显EA=BA=10,因而ED的最大值为14,最小值为6,;从而所求CM的最大值为7,最小值为3;

解题后反思:

图1-5是为了验证最值确实可以取到,这种解题后验证的好习惯,大家最好养成,它是一种好的解题品质,形成了这种品质,所谓初中阶段“一做就错”的易错题都是浮云,很容易避免,而之所以反复做反复错的本质原因,笔者认为就是学生缺乏这种解题后验证的重要品质!

另外,此法中通过倍长BC至点E的辅助线,将目标线段的最值问题转变为人人熟知的点到圆的最值问题,让人叹为观止!更神奇的是,这还是在笔者讲完此题第一种解法后本班学生的奇思妙想!是啊,学生的创造力与学习力是惊人的,作为老师不能忽视学生的这种能力,有的时候放手让学生去思考、去表达,真的可能会有意想不到之效额!

最后再借助图形的常见变换(平移、翻折、旋转及位似等)看待题目中涉及的两个动点关系,结合轨迹思想,利用“捆绑原理”(即“瓜豆原理”),介绍第三种解法,在笔者看来,这种解法更加普适,也更加自然,有能力接受的同学可认真研究琢磨!

解法三(捆绑整体思想):

第一步(分析题中从动点M与主动点D之间的变换关系):

用图形的常见变换(平移、翻折、旋转及位似等)看待题目中涉及的两个动点M与D的关系;

由题知点M为BD的中点,可以用“位似”的眼光看问题,即从动点M可以看成是主动点D以定点B为位似中心,位似比为1/2进行缩小(相当于线段BD放缩成了线段BM);

第二步(分析题中从动点M的轨迹与主动点D的轨迹之间的变换关系):

既然从动点M可以看成是主动点D以定点B为位似中心,位似比为1/2进行缩小得来,很自然地就能想到所要寻找的从动点M的轨迹可以看成是由主动点D的轨迹圆⊙A以定点B为位似中心,位似比为1/2进行缩小而来;

这里的想法在笔者看来是极其自然而容易被理解的,其实本质就是“整体思想”,相当于将主动点D的轨迹圆看作一个整体,这个整体在作相应地变换;

第三步(确定从动点M的轨迹):

既然知道了从动点M的轨迹可以看成是由主动点D的轨迹圆⊙A以定点B为位似中心,位似比为1/2进行缩小而来,由“经过位似变换之后的图形与原图形相似,即位似不改变图形的形状,只改变图形的大小与位置”这个理论支撑易知从动点M的轨迹仍是一个圆;

要想确定一个圆,应先找圆心确定位置,再找半径确地大小,按照这个基本想法先找从动点M的轨迹圆心,有趣的是这个圆心也是经过同样的变换而来,即从动点M的轨迹圆心就是主动点D的轨迹圆⊙A的圆心A以定点B为位似中心,位似比为1/2进行缩小而来,记为点N,即点N就是AB的中点,如图1-6所示;

再确定从动点M的轨迹圆⊙N的半径,这个半径其实也是位似而来,由主动点D的轨迹圆⊙A的半径为4,位似比为1/2知所要找的从动点M的轨迹圆⊙N的半径为2,如图1-7所示,画出目标点M的轨迹圆⊙N,其圆心为AB的中点N且半径为2,是一个定圆;

这样问题又被转化为同学们耳熟能详的模型,即定点C到定⊙N上的最大距离,易知CM的最大值为CN+2=7,顺带求出最小值为CN-2=3,问题得解!

解题后反思:

该解法有人爱它有人恨,仁者见仁智者见智!在笔者看来,这是一种极其自然的想法,本质就是用图形常见变换的眼光看动点间的关系,所谓“捆绑原理”本质也只是整体思想,即将主动点的轨迹看作一个整体,利用这个整体去确定从动点的轨迹,思路自然大方,而且更加普适,是一种很大范围内适用的通解通法,建议有能力的学生可以再思考琢磨下,多想几遍就通了,通了就简单了!

其实大家可以把第一种“中位线”解法与第三种“瓜豆”解法类比琢磨,越琢磨你越会发现两种解法本质一样,只不过前者的辅助线相对而言还是比较难想的,给人一点琢磨不透的巧合感,而后者则是有迹可循,其从动点M的圆心也正是第一种解法里的中点N,两者不谋而言,绝不是偶然应该是必然,甚至于大家还可以用瓜豆的原理找到这个中点N后,再采取第一种解法解答!总而言之,“瓜豆原理”中的轨迹思想往往可以使抽象问题变得有迹可循,值得你拥有!

下面再来看第二道题目,以此强化这种解题思想方法!

题2:(来源:网络)

题2:(来源:网络)

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