两个资产收益与风险
实际上我们在进行投资决策的时候，往往不会只投资一种资产，而是会同时投资很多资产，当投资很多资产的时候，收益和风险会有一些什么样的关系？
(一)两种资产的收益率
首先，来看看两种资产，因为当明白两种资产之间的关系的时候，很容易就把它扩展到n种资产。现在假设接下来，一期准备投资两种资产，这两种资产的相关系数是p,所有资金都用来购买这两种资产，所以这两种资产的投资比例分别为w1和w2，满足W1 +w2=1,组成的新的组合我们称之为P。问题是:新的组合P，它所具有的期望收益率是多少呢?它所具有的风险又是多少呢?
先看看收益怎么算?为了计算组合P的收益率，需要知道组合P在期初价值是多少?过了1期以后，在期末价值又变成多少?假设这两个资产期初价格分别是P0和Q0，过了1年以后资产价格分别变成了P1和Q1。
现在假设期初投资金额为I，分别去购买第1个资产和第2个资产，其中有w1xI投资在第1个资产上，w2xI 投资在第2个资产上。所以组合P期初价值就是I。.现在问题是这样一个资产组合，在期末的价值是多少呢?这时候需要思考，期初w1xI这么多钱，可以购买多少份第1个资产?其实就是w1xI/P0，所以，第1类资产，期末的价值就变成了w1xI/P0xP1。类似的,第2类资产期末的价值就变成了w2xI/Q0xQ1。所以第1期期末资产组合P的价值就变成了，w1xI/P0xP1+w2xI/Q0xQ1，因为W1 +W2=1， 而P1/P0和Q1/Q0则分别是两个资产的总投资收益。所以任何一个新的组合,其收益率就等于组成这个组合的资产收益率的加权平均，也就是:
(二)两种资产的风险
接下来再看一下，这两个资产组成的组合P,它的风险又是怎什么样的呢?利用概率论的知识，我们知道新的组合，它的方差等于组成这个组合的资产的方差乘以各自的权重的平方，再加上两两之间的协方差乘以相应的权重。也就是:
两个资产组成的组合的收益率和风险标准差我们都知道了，现在探究下不同的资产组合权重下，这个资产组合的收益和风险之间有什么关系呢?
(三)两种资产收益率和风险的关系
显然，如果直接观察风险和收益率公式的话，我们很难看出他们之间关系。接下来让我们从最简单的例子开始。假设这两种资产里面第1个资产是无风险资产，第2个资产是有风险资产。这意味着这两种资产之间的相关系数等于零,其中第1个资产的风险σ1是等于0的，因此组合的标准差就等于第2个资产的权重的乘以第2个资产的标准差。在这样一种比较特殊的假设情况下，收益和风险的公式都变得更加简单了。现在我们想看一看在横轴是风险(标准差)，纵轴是期望收益率，二维坐标系下不同组合权重下的资产组合，其收益和风险之间组成的点的轨迹是怎么样的呢?
可以看到在这个二维坐标系上有两个点，这两个点其实是两个不同的权重的资产组合:第1个资产它是不存在风险的，所以在纵轴上;对于第2个资产，它的风险是σ2，期望收率是E(R2)。这两个点其实表示，当我做投资组合的时候，只投资这两类资产的其中一个，另一个权重为0。也就是说从第1个点移动到第2个点的时候，第1个资产的权重从100%降低到0，第2个资产的权重从0增加到100%。现在问题是这样一个变动的过程中，其他点的轨迹是什么样的呢?从1到2的过程中组成的轨迹是一根直线呢?还是一根曲线呢?为了回答这个问题，可以思考任意权重组成的一个资产组合P，它与第一个点组成的斜率是不是总是等于资产2和资产1组成的斜率?如果是,就意味着从1移动到2的过程中，总是一根直线，否则的话就是一根曲线。通过简单的计算可以发现，任何资产组合和资产1组成的斜率总是等于1和2组成的斜率:
这意味着如果投资无风险资产和任一风险资产组合成的新的资产组合,其收益与风险之间的关系描述在横坐标是风险——标准差， 纵坐标是期望收益率的二维坐标系上，其轨迹就是一根射线。
接下来把情况变得稍微复杂一点，把无风险资产替换成风险资产，但是这时候增加假设，这两个风险资产的相关系数等于1。在这一个假设下，这两种资产，他们的收益是完全正相关的,也就说它可以写成R1=a+bx R2,其中的a, b为常数,且b是大于零的。与此同时，组合的标准差也简化成了两个资产各自标准差的加权平均。类似的，用上面那个逻辑，我们也可以发现,资产1和资产2如果相关系数等于1的话，他们的资产组合组成的轨迹也是一根直线。
接下来我们假设，这两种风险资产的收益率变成完全负相关的，结果又会怎么样呢?组合的轨迹是不是还是一根直线呢?与刚刚不同的是，这时候组合的方差可以写成一个平方差公式了。把平方拆掉需要加绝对值。绝对值里面，是一个关于w1单调递减的函数:
当w1等于1的时候函数值是大于零的，而当w1等于零的时候函数值是小于零的。因此一定存在某个权重组合，使得资产组合的风险是等于0的，也就是可以组成一个过纵轴的无风险资产。上面我们学过无风险资产与任何风险资产所组成组合的轨迹是一根直线,所以从这个无风险资产，我们可以分别和资产1以及资产2组成新的组合，这两类组合，它的轨迹都是直线，或者更确切的说是射线。因此当两种资产都是风险资产，且完全负相关的情况下，他们组成的轨迹，是过纵轴相交的两根直线。
特殊情况我们都讨论了，剩下的部分还包括两种风险资产的相关系数是-1~+1的时候会怎么样?这个计算过程稍微复杂一点，这里我直接展示结果,这时候两种风险资产，它们组成的轨迹是一根曲线，如果还是画在我们之前说的二维坐标系下面的话，更确切的说它是一个双曲线的一半。
现在我们知道，在不同的条件下，两种资产组合，他们组成的轨迹是不一样的，主要表现为:当系数等于1,是一根直线，当相关系数等于-1的时候，它是一根折线，而当相关系数在-1到1之间的时候，是一个根双曲线。这次课我们讲了两种资产的收益和风险的关系，那如何把两种资产的情况扩展n种资产呢?我们下次课来讲。