圆锥曲线系列讲义之21抛物线10

如图，由对称性知ABCD为等腰梯形，则E在x轴上，设ABCD面积为S，

注：

(1) 本题是09年高考全国1卷21题的一般化推广。

(2) 本题算是圆和抛物线位置关系的问题，要注意要使得他们有四个交点，必须要求消去y后的一元二次方程有两个不等正根。

(3) 得到面积表达式在求最值的时候既可以像上面那样利用三元均值不等式，也可以利用求导得到最值。

(4) 本题比较有趣的是最后得到的E的横坐标居然就是t。所以本题是一个难得的综合性好题，既考察了几何性质，又考察一元二次方程根的分布和性质，还顺便考察了导数相关知识。

思路分析：

设出坐标，表达出C的横坐标，求出ABC面积表达式，化简成关于某个变量的一元函数，求出最值即可。

注：

（1）此题为2010年高中数学联赛第10题的一般化推广。

（2）此题的第一件事是得到C为定点，能大大简化运算。当然这也可以作为一个重要的结   论，不难发现，反之也是成立的。

（3）ABC的面积表达式既可以按上述方法利用36中得到的结论，也可以利用点到直线距离，利用底乘高除以2得到，最终是殊途同归。

（4）与上题类似，本题面积表达式化简后依然为三次函数，用三元均值不等式比较方便，当然用导数也不难。

（5）还要注意取等条件，本题中最终满足均值不等式即可保证点A、B的存在性，就可以不具体求出A、B的坐标了。但是这个取等条件的讨论是必不可少的，必须论证说明取得最值时能保证方程有解。

思路分析：

可以设出P,B,C坐标，由相切得到圆心到PB、PC距离为p，由此得到两个约束条件。最后将面积表达成某个变量的一元函数，求出最值即可。

注：

(1)本题是2008年高中数学联赛第15题得一般化推广。

(2) 本题中相切的应用很重要，用点到直线距离公式合情合理。

(3) 本题中比较巧合的是b,c能解出来，面积表达式也简洁漂亮，主要是因为r=p,如果没有这个条件，本题就复杂多了，虽然也能得到m的面积表达式，但是最值几乎没法求出来。

(4)还要注意本题中圆为△PBC内切圆，这不知要保证PB、PC和圆相切，还要保证m>2p,

否则圆就变成△PBC旁切圆，此时△PBC面积可以趋于0。

思路分析：

设出P坐标，由切线长得到一个等式。两圆相切，圆心和半径必然重要，设圆心为A,B,半径为a,b.由相切容易得到AO⊥OB,PO⊥AB,由射影定理得OP^2=ab,还需要一个等式，

显然AA’OP共圆，故∠A’AB=∠POF,则他们的正切值相同，这就得到第二个等式。然后表达出两圆面积和，转化为单个变量的函数求出最值即可。

注：

(1) 本题是2016年高中数学联赛第15题的一般性推广。

(2) 本题难度较高，主要是条件有些复杂，不太好利用。只有充分挖掘几何性质，射影定理容易得到。第二个等式比较难找，参考答案的方法比较复杂，上述方法是本人得到的，利用等角，得到正切值相同，第一个正切值是两圆相切的常见套路。得到两个等式后适当消元即可得到最值和取等条件。

(3) 上述求最值过程中使用了均值不等式，当然也可以利用其他不等式（如柯西不等式等）或者求导来解决。不过相对而言，均值不等式最简洁自然，容易掌握。

本文讲解了四个比较典型的与抛物线有关的相对复杂的最值问题，与解析几何有关的最值问题一般综合性较强，会和解析几何、平面几何、函数、不等式息息相关，难度较大，是高考和竞赛题压轴题的最佳选择。不过见怪不怪，其怪自败，此类问题的一般套路都是设出未知数，充分利用已知条件，得到一些关系式。最后通过消元将表达式表示为一元函数，通过不等式或者导数求出最值即可。熟练套路以后此类问题并没有想象中的那么困难。