【初中数学】谈旋转，从180到90再到任意角

图形的旋转变换是初中数学重要内容，也是中考数学的热点和难点；从考察内容和方式上来看，可以考察最基础的概念、性质作图，也可以将相关信息融入到综合大题中，去考察学生的空间想象能力以及实践探究能力等。

尤其是将图形的旋转放到二次函数的背景下去考察更是近些年中考的热门，很多孩子遇到此类问题往往会束手无策，几乎不敢触碰。

本文将针对此类问题作专项的探究，首先来回顾旋转的相关内容。

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旋转的定义：

在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

旋转三要素：

旋转中心（绕哪转）-----定点还是动点？  

旋转方向（向哪转）-----顺时针还是逆时针？

旋转角度（转多少）-----转了多少度？

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旋转的性质：

经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

对应线段相等，对应角相等。

旋转中心可以看作对应点连线的垂直平分线的交点。

图形旋转的本质最终都可以归结为点的旋转，本文将从点的旋转谈起，去探寻图形旋转过程中所蕴藏的道理！

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点的180°旋转：（中心对称）

1.如图1，点A坐标为（1,2），将点A绕旋转中心O(0，0)旋转180°，则点A的对应点A’的坐标为  （-1,-2）    .

2.如图2，点A坐标为（1,2），将点A绕旋转中心M(-1，0)旋转180°，则点A的对应点A’的坐标为  （-3,-2）    .

3.如图3，点A坐标为（1,2），将点A绕旋转中心M(-1，1)旋转180°，则点A的对应点A’的坐标为  （-3,0）    .

经过多次操作，不难发现：成中心对称的2个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

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线段的180°旋转：（中心对称）

经过多次操作，不难发现：成中心对称的2个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，即对称中心是对应点连线的交点。

我们还应该能发现：成中心对称的图形对应线段相等且平行（也可在同一条直线上）

--此处可渗透中考题，具体参见上一篇《开启上帝视角，了解命题真相》。

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图形的90°旋转： 

经过多次操作，不难发现：旋转中心到对应点连线的距离相等，即可理解为旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点。90°旋转前后的对应线段相等且垂直。拓展到图形的旋转也是一个道理，不在赘述！

如图10，还可逆向思考哦！！（等腰直角三角形的“手拉手模型”）

可得：AB=A’B’,AB与A’B’还互相垂直，点M是AA’、BB’的垂直平分线的交点。

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认真看完我上面的旋转1-9幅图的同学应该很快能发现，不论△AOB绕哪个点旋转90°，O’A’一定会垂直于x轴，O’B’一定会垂直于y轴，A’B’一定会垂直于AB所在的直线。看透了这个问题的本质，本题就不难得解了。

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旋转中心Q的坐标到底如何求才能更简便？

如图13，作两对应点的垂直平分线，交点即为旋转中心Q，如何解出Q点坐标呢？

一定有人会这样处理，求出OO’,BB’的垂直平分线，再求出交点坐标！

那你就自找麻烦啦！！！运算数据太多，要算好久的！怎么办？

回归原图才是正道啊！

△QOO’是什么三角形啊？等腰直角三角形啊！

那Q点你能秒得答案吗？相信聪明的你一定不会让老师失望！

（利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，迅速可得答案）

口算得Q（-4,4）.同理可得Q（5,3）

当然我们点的坐标设法中蕴藏着整体思想哦！！！

当然，上述习题还可以在反比例函数图像上构造数据解题哦！