几何画板在几何图形探究中的重要作用

基于基本几何图形的探究问题是我们几何教学的热点，也是学生学习的难点。难在哪里？难在图形虽给出了，看似直观，但我们要在图形的复杂线条中找量的关系、探究特殊的位置关系却是一点也不直观，因为纸上画的图形是“死的”。世间万事万物都时刻处于不断变化中，我们数学经常研究的就是变化中不变的量和关系。如若我们能让纸上的图形“活起来”，那么再复杂的几何图形，我们也能在观察中得出正确的结论。这里就要借助功能强大的几何画板工具，下举一例说明，有兴趣的同学可以自己在电脑上下载安装几何画板自行操作。

例 探究任意四边形的中点四边形。

所谓中点四边形就是连接四边形各边中点的四边形，我们要研究的是任意四边形的中点四边形的形状、周长和面积等性质。乍一看是没有头绪的。“任意”两个字就让很多学生感到无从下手了。但正是因为“任意”二字，才使得结论有了一般性，有了研究的价值。我们可以用几何画板进行作图探究，然后根据探究结果猜想结论，并完成证明。

Step1 在几何画板中用多边形工具画任意一个四边形

Step2 用构图工具取各边中点并连线，作出中点四边形

Step3 用度量工具度量中点四边形的边长

经过度量之后，同学们是否能猜想出中点四边形EFGH的形状呢？

Step4 任意改变原四边形形状，观察度量数据，判断中点四边形形状是否发生改变

经过改变原图形的形状，观察中点四边形的形状，从而帮助学生很容易猜想出任意四边形（包括凹四边形）的中点四边形是平行四边形，由此引发学生证明该结论。

Step5 连接AC、BD，并度量长度

根据度量结果，很容易观察出中点四边形的周长等于原四边形对角线长之和，并且拖动点，改变原四边形形状后结论不变。由三角形中位线的性质定理即可得证。

Step6 构造原四边形和中点四边形的内部，并分别度量面积

通过度量的数据结果，同学们很容易观察出中点四边形面积等于原四边形面积一半这一结论。拖动点，改变原四边形形状，结论不变。学生猜想到这一结论后就便于进一步地证明。

由此，我们经过几何画板的作图，度量相应的长度和面积，拖动点（或者直接运用动画效果）改变图形形状，从而直观观察出图形变化过程中不变的量和关系。学生经历作图探究的过程，就更容易理解基本图形的性质，便于进一步地猜想和证明。这个问题的结论就是：任意四边形的中点四边形都是平行四边形，其周长等于原四边形对角线长度之和，面积等于原四边形面积一半。

当然，由于几何画板强大的作图和动画演示功能，同学们还可以进一步探究什么情况下中点四边形是矩形、什么情况下是菱形、什么情况下是正方形。利用几何画板，同学们有了更为广阔的探索空间。