满分之路：裂项法求“差比型数列”之和及推广应用

裂项法求“差比型数列”之和及推广应用

本文中,“差比型数列”是指: 一个等差数列和一个等比数列之积所形成的数列, 即当数列 {an}. {bn} 分别是等差 数列和等比数列, 则数列 {an · bn} 就是笔者所说的“差比型数列”. 笔者从事高中数学教学近二十年, 每当给学生讲授利 用错位相减法进行“差比型数列”求和时, 总是伴随着一种困惑: 感觉学生对这种数列求和方法很容易听懂和理解, 其原因是错位相减法求“差比型数列”的和有固定的求解模式,在大量的此类方法训练题中, 学生套用这种机械的固有解题模式, 解题方向和目标一致, 容易掌握其法则和步骤. 而效果呢? 结果是错位相减法求和计算量大, 经常容易出错. 运用错位相减法求“差比型数列”的和要求学生有很强的计算能力,加上我们一再强调该类型数列求和只能用错位相减法来解决, 所以学生在学习时遇到此类问题时, 就抱定自古华山一条路的决心, 战战兢兢地走下去.

目前大部分省市参加全国新课标卷考试, 数列知识和三角知识常常作为第一个大题交替出现, 数列知识特别是对错位相减求和的考查成为不可或缺的部分, 其地位显得尤为重要. 笔者发现在大量的数学杂志中, 较多的老师撰文对用裂项相消法求“差比型数列”的和作了较为完整的研究和探索.

综合大家的“差比型数列”求和方法, 下面给出用裂项相消法求“差比型数列”的通式:

点评 此法利用等差数列{an}为关于 n 的一次多项式,可以运用待定系数法对通项公式进行变形和构造, 方法简单,容易操作, 很好的进行了裂项相消法和错位相减法之间的沟通, 简洁明了, 只要在求系数 A, B时仔细认真一点, 就可以熟练掌握此种方法求解.运用和构造裂项相消法解决“差比型数列”的求和问题,为学生开辟了一条新的求和途径, 拓宽了学生的解题思路. 所以对于任意的“差比型数列”, 都可以通过构造和待定系数法把它转化为裂项相消的方式解决, 充分利用函数的思想方法来处理数列问题, 此解法过程简便, 思路清晰, 大大减少了运算步骤和出错率, 同时也给教师在教学中提供了新的教学思路, 充分体现了数学问题和方法的形式多样化和逻辑严密性, 对培养和提高学生的数学思维能力和数学素养很有帮助.其实在漫长而丰富的高三高考备考复习中, 我们遇到很多数列求和的问题, 我们都会根据数列通项的特征决定我们采取哪种数列求和的方法, 从大量的试题中, 不难发现运用裂项相消法去求某些数列和的方法总是那样别出心裁, 让试题大放光彩.

点评 显然裂项相消法解决这类数列求和显得更加简洁明了, 解题思路清晰, 简化了计算步骤, 容易让学生掌握.

点评 例 9、例 10 从题的层面上看不是前面所说的“差比型数列”, 也不是由一个多项式和一个指数式乘积组成的数列, 而是由多项式乘积或多项式和指数式乘积组成的含有分式的混合型数列的求和问题, 仔细观察数列通项特征, 同样可以用裂项法相消求和, 其关键是数列通项中呈现一种有规律的形式, 通过适当的变形和推理可以裂开成两项相邻的项进行抵消求解.

通过以上例题和练习的解析过程和点评来看, 在数列的求和解答方法中, 裂项法运用灵活广泛, 思路显得简洁明晰,计算化繁为简, 不易出错, 它可以使我们少走弯路, 少做重复的工作, 在掌握好错位相减的基础上, 再通过对数列通项的特征进行观察比较、挖掘通项本质内涵, 合理运用待定系数法进行裂项相消, 进一步理解解题的思想和方法, 增强我们解题的自信和能力,丰富和提高我们的学科素养.

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