第31讲 典型例题与练习参考解答：反常积分的基本概念与性质
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第31讲：反常积分的基本概念与性质
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例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：计算.
练习2：证明当时收敛，当 时发散.
练习3：判定的敛散性，如果收敛，则求积分值.
练习4：设为常数，证明
练习5：证明当时收敛；时发散.
练习6：判定的敛散性，如果收敛，则求积分值 .
练习7：设，求
练习8：计算.
练习9：证明：，并求其值.
练习10：设，求.
练习11：设在上可导， ，若
证明：.
练习12：求极限.
练习13：已知 ，求 .
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：计算.
【参考解答】：由反常积分的定义，有
于是由定积分的分部积分法，得
于是得
【注】其描述形式也可以直接写成如下形式
练习2：证明当时收敛，当 时发散.
【参考解答】：当时，
当时，
因此，当时，这个反常积分收敛；当时，这个反常积分发散.
练习3：判定的敛散性，如果收敛，则求积分值.
【参考解答】：直接令，则 ，且 时， ， 时， ，所以
由广义积分敛散性的定义可知原广义积分收敛，且积分值
练习4：设为常数，证明
【参考解答】：由于函数在上为严格单调减函数，所以在区间 上，有
于是，由积分的保序性有
即
将对应的不等式左端相加，再根据积分对区间的可加性，有
将对应的不等式右端相加，再根据积分对区间的可加性，有
相加即得结论成立.
练习5：证明当时收敛；时发散.
【参考解答】：当时，
当时，
即所证结论成立.
练习6：判定的敛散性，如果收敛，则求积分值 .
【参考解答】：容易判定是瑕点，所以考虑计算积分
于是令，即 ，得 ，而
且当时，， 时， ，所以
显然
所以
即反常积分不仅收敛，而且积分值等于.
练习7：设，求
【参考解答】：容易判定, 为的无穷间断点，故积分为反常积分，并有
由于
于是得
练习8：计算.
【参考解答】：【思路一】 积分区间为无限区间，且为被积函数的瑕点. 令，则
再令，则
【思路二】 令 ，则
练习9：证明：，并求其值.
【参考解答】：令，得
于是有
练习10：设，求.
【参考解答】：显然是一个瑕积分，并且为积分上限函数定义，所以考虑分部积分法，得
练习11：设在上可导， ，若
证明： .
【参考解答】：由题可知，所以在上连续且单调递增，即，于是可得
从而由微积分基本公式，有
于是可得
即.
练习12：求极限.
【参考解答】：直观得到结果为
练习13：已知 ，求 .
【参考解答】：积分区间为无穷区间，且包含了瑕点 ，所以考虑分割积分区间为, ，即
于是由分部积分法，得
以上两式相加，得