三角形、四边形的有关计算证明（经典例题），太有用了！

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考点，热点分析

(1)掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，四边形是平行四边形的条件（一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形）．了解中心对称图形及其基本性质；

(2)掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件；

(3)了解等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等的性质，以及同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形的结论。

(4)进一步认识三角形的有关概念，了解三边之间的关系以及三角形的内角和，了解三角形的稳定性。

(5)了解图形的全等，能利用全等图形进行简单的图案设计。

(6)经历探索三角形全等条件的过程，掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题。

(7)在分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形（会写已知、求作和作法，不要求证明）。

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知识点归纳

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经典例题

三角形内角和定理的证明

例1．如图所示，把图（1）中的∠1撕下来，拼成如图（2）所示的图形，从中你能得到什么结论？请你证明你所得到的结论．

点证：此题是让学生动手拼接，把∠1移至∠2，已知a∥b，根据两直线平行，同旁内角互补，得到“三角形三内角的和等于180°”的结论，由于此题剪拼的方法很多，证明的方法也很多，注意对学生的引导．

探索三角形全等的条件

例2．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：

①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是_________．

【解析】由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，可判定△AEB≌△AFC，从而得∠EAB=∠FAC．

∴∠1=∠2，又可证出△AEM≌△AFN．

依此类推得①、②、③

点评：注意已知条件与隐含条件相结合．

全等三角形的应用

例3．如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．

求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．

【解析】（1）因为AE∥BC，所以∠A=∠B．又因AD=BF，所以AF=AD+DF=BF+FD=BD，又因AE=BC，所以△AEF≌△BCD．

（2）因为△AEF≌△BCD，所以∠EFA=∠CDB，所以EF∥CD．

【点评】根据平行寻求全等的条件，由三角形全等的性质证两直线平行．

利用平行四边形的性质求面积

例4．如图，在□ABCD中，E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，

求证：S△ABF=S□ABCD．

【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC．

∵E是DC的中点，∴DE=CE．∴△AED≌△FEC．∴S△AED =S△FEC．

∴S△ABF =S四边形ABCE+S△CEF =S四边形ABCE+S△AED =S□ABCD

根据条件选择适当方法判定平行四边形

例5．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）

A．OE=OF B．DE=BF

C．∠ADE=∠CBF D．∠ABE=∠CDF

【分析】虽然判别平行四边形可从“边、角、对角线”三个角度来考虑，但此例图中已有对角线，所以最适当方法应是“对角线互相平分的四边形为平行四边形”．

利用平行四边形的性质进行计算

例6．如图，在□ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC+BD=_______．

【分析】本例解题依据是：平行四边形的对角线互相平分，先求出AO+BO=9，再求得AC+BD=18．

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