八下第8讲 平行四边形、矩形性质&判定重难点突破

写在前面

转眼间,全国多数地区已经进入开学状态,江苏省的初二学子已经正式复课两周了,从开学练习的情况看,网课的效率不是很高,因此,我们还是应该重新认真打好基础.本讲,从平行四边形和矩形的性质和判定出发,结合我们前期的文章,一起再作巩固!

01

平行四边形性质

例1:

在给定的条件中,能作出平行四边形的是(  )

A.以60cm为对角线,20cm、34cm为两条邻边

B.以20cm、36cm为对角线,22cm为一条边

C.以6cm为一条对角线,3cm、10cm为两条邻边

D.以6cm、10cm为对角线,8cm为一条边

分析:

要能够构成平行四边形,

A、C选项涉及两邻边及一条对角线,则必须满足四边形的两邻边与一条对角线能够构成三角形.

B、D选项涉及两对角线和一边,则必须满足两对角线长的一半与四边形的一边构成三角形.

解答:

20+34<60,故A选项错误;6+3<10,故C选项错误;

18+10>22,故B选项正确;3+5=8,故D选项错误.

故选B.

例2:

分析:

由平行四边形的性质可得,AO=CO,BO=DO,AD=BC,AD∥BC,接下来结合已知条件与各个选项中条件依次分析判断即可.

解答:

∵AE=CF,可证EO=FO,结合BO=DO,

可证四边形DEBF是平行四边形,故A正确.

∵AD∥BC,∴∠DAE=∠BCF,

结合∠AED=∠CFB,或∠ADE=∠CBF,

可证△ADE≌△CBF,

从而得到AE=CF,接下来证明同A选项,

故B、C正确.

∵DE=BF,DO=BO,∠DOE=∠BOF,出现了SSA,

无法证明△DOE≌△BOF,则无法证明EO=FO,

故D错误,具体反例如下:

例3:

若四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AB∥CD,且AB=CD=16cm,AC=18cm,则BD的取值范围是______.

分析:

本题无图,可以先自己画图.易证四边形ABCD是平行四边形.则平行四边形的对角线相互平分,要求BD的取值范围,要么放在△ABD中,利用三边关系求解;要么考虑OD的范围,因为OB是OD的两倍.所以可放在△OCD中.

解答:

例4:

分析:

根据折叠的性质可得EF=AE,BF=BA,从而平行四边形ABCD的周长可转化为△FDE的周长+△FCB的周长,求出AB+BC,再由△FCB的周长为22,减去AB+BC的长,即可求出FC的长.

解答:

例5:

在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交DC所得的两条线段长为4cm、5cm,则平行四边形ABCD的周长为_______.

分析:

∠BAD的平分线分DC成4cm和5cm的两条线段,设∠BAD的平分线交DC于E点,有两种可能,DE=4cm或5cm,证明△ADE是等腰三角形,再分别求周长.

解答:

02

平行四边形判定

例1:

在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC,点A、B的对应点分别是D、E.

(1)当点E恰好在AC上时,如图1,求∠ADE的大小;

(2)若α=60°时,点F是边AC中点,如图2,求证:四边形BEDF是平行四边形.

分析:

(1)首先要发现,由旋转得到的边等,AC=DC,即△ACD为等腰三角形,从而想到用外角∠DEC减去∠DAC的度数即可.

(2)本题中,可以通过一组对边平行且相等来证,显然选择BF和ED,要证平行,通过证明∠EBF和∠BED互补即可.

解答:

03

矩形性质

例1:

分析:

由四边形ABCD是矩形,DE平分∠ADC知,∠CDE=∠CED=45°,CD=CE.又根据∠BDE=15°,可得∠CDO=60°,由矩形对角线相等可知,OD=OC,故△OCD是等边三角形,从而有OC=OD=CD,得∠DCO=60°,∠OCB=30°,OC=CE,进而求得∠COE度数.

解答:

例2:

分析:

由四边形ABCD是矩形,DE平分∠ADC知,∠CDE=∠CED=45°,CD=CE.又根据∠BDE=15°,可得∠CDO=60°,由矩形对角线相等可知,OD=OC,故△OCD是等边三角形,从而有OC=OD=CD,得∠DCO=60°,∠OCB=30°,OC=CE,进而求得∠COE度数.

解答:

例3:

分析:

根据图形折叠前后对应边相等,可知AE=A′E,AB=A′D,在△A′ED中,利用勾股定理建立方程,从而求出DE的长,即可求出△DEF的面积.

解答:

04

矩形判定

例1:

如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=5,E、P分别在AD、BC上,且DE=BP=1.

(1)判断△BEC的形状,并说明理由?

(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形?并证明你的判断;

分析:

(1)根据矩形性质得出CD=2,根据勾股定理求出CE和BE,根据勾股定理的逆定理验证即可;

(2)根据矩形的性质和平行四边形的判定,推出平行四边形DEBP和AECP,推出EH∥FP,EF∥HP,推出平行四边形EFPH,再添加∠BEC=90°的条件可证矩形.

解答:

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