泰勒级数中的“逆级数问题”

来源：今日头条——电子通信和数学领域

前面我们已经学习了泰勒级数的性质和逼近原函数时要满足的条件，如下函数的展开式是

那你是否想过通过sinx项，或1/1-x 项把X表示成级数的形式，用现代术语就是寻找X逆级数。

这种方法在现代教科书中并未提及到，但伟大的牛顿首次在他的《分析学》一书中对这种方法进行了系统的研究和函数。

我们先来看一个简单的级数，如何用Z项来表示X的级数

简单的变形得到

因为是用Z项表示X的级数，设X=Z+P，且P是有待确定的级数，带入上式得

上式展开整理得到

舍弃了2次项，3次项和更高次项，再求解得到

再次假设P=Z^2+q，且q是级数并带入上式含有p的多项式中

对其展开合并同类项得到

同理舍弃2次项，3次项和更高次项得到

所以经过上面的两次变换就得到X前三项的式子

同理我们继续假设q等于

且r是级数，继续推到这一过程，对于代数的单调乏味有着非凡忍耐力的牛顿就是这样无限延伸的计算下去，最后就得到用Z项来表示的X的级数形式

所以X和Z互为逆级数形式

进步检验是否正确,如图

所以这一切的推导是正确的。