量子场论（QFT）是粒子物理的标准模型的框架。特别是，量子电动力学（QED）以前所未有的精度预测了物理量的值。例如，μ子的磁偶极矩的测量值为233 184 600 (1680) × 10^（-11）。而理论预测值为：233 183 478 (308) × 10^（-11）。

然而，量子场论也存在分歧，其中最重要的一个是真空能量密度（或真空期望值，通常称为VEV）。每个量子场都有相应的发散零点能量。对所有模态求和会导致真空能量密度的一个巨大值。

图1：代表量子场理论发散的费曼图的例子。在第一种情况下，光子产生一个虚拟的电子-正电子对，然后这对电子湮灭（真空极化）。在第二种情况下，电子发射并重新吸收虚光子。

然而，由广义相对论预测和实验观测到的真空能量是非常小的。两种估计的误差可能高达120个数量级。

宇宙常数问题（又称真空灾难），正是现代物理学中最重要的未解决的问题之一（真空能量密度的实验测量值与用量子场理论得到的理论零点能量之间存在的差异）。霍布森、埃夫斯塔蒂欧和拉森比（HEL）将其称为“物理学史上最糟糕的理论预测”。

当考虑引力时，这种能量密度导致了严重的问题，因为在广义相对论中，任何形式的物质或能量都必须添加到真空能量中。

爱因斯坦的引力理论速览

1915年至1916年间，爱因斯坦总结了广义相对论的构想。他的引力场方程表明，时空区域的扭曲是由附近物质和辐射的能量和动量产生的。

图二：太阳的存在所造成的时空扭曲的图解

下图说明了两者之间的对应关系：

用张量G, R和T表示，公式如下：

式1：具有爱因斯坦张量G、里奇曲率张量R和标量曲率R（R的迹）的爱因斯坦场方程。

里奇曲率张量度量时空的几何性质（局部）不同于通常的欧几里得空间的程度。

图3：流形（在这种情况下，具有正曲率）的几何性质（在这个图中，两点之间的距离）与通常的欧几里德空间有所不同。

式1中的张量g是度规张量g，其形式为：

式2：度规张量g。

对应的线元（表示无穷小位移）可表示为：

式3：对应于张量g的线元。

图4：三维欧几里得空间中的向量线元dr（绿色）。

右边的张量T是能量动量张量。它包含了使时空变形的物质和能量的信息。

式4：能量动量张量T的分量

宇宙学

1917年，在发表他的广义相对论一年后，爱因斯坦在他的开创性论文《广义相对论的宇宙学考虑》中将其应用到整个宇宙（当时被认为只是银河系）。这篇论文标志着现代宇宙学的诞生。

在这篇文章中，爱因斯坦假设宇宙是静态的，有一个封闭的空间几何（一个三维球体，有限但无界）。然而，他的理论不承认静态解，他不得不引入一个新量，即式1中的宇宙常数Λ项：

式5：带有包含宇宙学常数新项Λ的爱因斯坦场方程。

这个已知的宇宙是爱因斯坦静态宇宙。

图5：爱因斯坦和他1917年的论文，其中他将广义相对论应用到整个宇宙

由于以下原因，他能够将这一项包含等式1中。G和T的协变导数都是零：

式6：G和T的协变导数都是零。

因为度规张量也有这个性质：

式7：度规张量的协变导数为零。

引入这一项不会破坏方程的一致性。在弱场极限下，我们得到：

式8：根据牛顿极限，我们可以看到Λ作为引力斥力，线性依赖于距离r。

我们看到Λ作为引力斥力，线性依赖于距离r。

膨胀的宇宙

然而，在1929年，美国天文学家埃德温·哈勃发现：

一些被认为是尘埃和气体云的物体实际上是银河系之外的星系（当爱因斯坦把Λ引入他的方程时，这并不为人所知）。
星系的后退速度随它们与地球的距离而增加（所谓的“哈勃定律”）。

他的发现和比利时数学家、天文学家乔治·勒梅特先前的研究一起得出结论：宇宙正在膨胀。

图6：如何计算哈勃常数

因此，正如爱因斯坦所认为的，宇宙的膨胀意味着没有必要引入宇宙常数。在与乌克兰出生的物理学家、宇宙学家乔治·伽莫夫（George Gamow）交谈时，他说过一句名言：

引入宇宙常数项是我一生中犯的最大错误。

图7：埃德温·哈勃和乔治·勒梅特。

宇宙学常数的不同观点

然而，今天人们用一种全新的方式来看待宇宙常数。事实上，它的存在导致了以下的实验结果：我们的宇宙不仅在膨胀，而且在加速膨胀。膨胀的阶段如下图所示。当遥远星系远离观测者的速度随着时间的增加而增加时，加速膨胀就发生了。

图8：宇宙的加速膨胀

弗里德曼-勒梅特- 罗伯森-沃克（FLRW）度规

如果考虑非常大的区域（如星系团，在100百万秒差距的量级上，一秒差距等于31万亿公里）宇宙的几何形状（度规的空间部分），近似均匀（在所有位置上都相同）和具有各向同性（在所有方向上都相同）。参见下面的图10：

图9：IDCS J1426星系团的质量约为500万亿个太阳质量

下图说明了各向同性和均质性的概念：

图10：各向同性和均质性的概念

基于这些假设，我们得到了爱因斯坦场方程的解，常曲率宇宙，即所谓的FLRW宇宙。它们的空间部分可以用不同的方式表示。一个可能的方式是：

式9：一种可能的方式来表示FLRW度规的空间部分。

其中函数a(t)是宇宙尺度因子，与宇宙的大小有关。参数k指定FLRW度规的形状。k的三个可能值分别是+1、0或1，它们分别与具有正曲率、零曲率和负曲率的宇宙有关。

图11：式9中k的三个可能值分别为1、0或-1，分别与具有正曲率、零曲率和负曲率的宇宙有关。

介绍球坐标：

式10：无量纲径向曲率球面坐标。

图12：球面坐标，图中的r是式10中带波浪号的r。

并定义坐标：

式11

其中~表示通常的径向变量FLRW度规，现在包括时间部分，线元变成：

式12：一种更方便的方法来表示FLRW线元素。

理解这点很重要，时空中的点和时空坐标是两个不同的概念。坐标是分配给点的标签，因此它们的选择不应该改变物理定律。坐标r、θ和ϕ称为近地坐标。随着宇宙尺度因子a(t)的增加，点与点之间的距离也会增加，但近地坐标系中的距离却不会增加。

图13：图中宇宙尺度因子R(t)对应函数a(t)

假设在大尺度上具有各向同性和均匀性，能量动量张量T成为“完美流体”的能量动量张量：

式13：完美流体的能量动量张量。

其中ρ为质能密度，p为流体静压。

一个完美的流体定义:

完全由它的静止坐标系质量密度ρ和各向同性压力p表征。
没有剪切应力，粘度，或热传导

图14：一个完美的流体流过一个无限长的圆柱体

例如，考虑静止系中的T。它变得简单：

式14：完美流体在其静止系中的能量动量张量。

有了这个简单的T，我们可以只用两个量来描述物质，它的密度ρ和压强p：

注意，两者都只依赖于宇宙尺度因子a(t)。爱因斯坦场方程就变成了著名的弗里德曼比例因子方程：

式15：当能量动量张量是各向同性并且齐次时，即EFE的弗里德曼方程。

图15：俄国物理学家亚历山大·弗里德曼

第三个重要的方程是状态方程也就是FLRW宇宙的式6右边的方程：

式16：FLRW宇宙的状态方程。

现在，根据HEL，考虑一种具有特殊状态方程的未知物质，具有负压：

式17：由Λ得到的正真空能意味着压强p<0。负压使膨胀速度减慢。

在这种情况下，张量T变成：

式18：因为T只依赖于时空的几何，它是真空本身的一种性质，ρ被称为真空能量或空间的能量密度。

它与坐标的选择无关。注意，T只依赖于时空的几何。因此，它是真空本身的一种性质。因此ρ是真空能量或空间的能量密度。

现在比较等式5等式19。新项的形式和g项相同。然后我们可以这样写：

式19：真空能量或空间的能量密度。

因此，宇宙常数的存在等价于真空能量密度的存在：

式20：引入一个宇宙常数相当于真空能量密度的存在。

爱因斯坦的场方程变成：

式21：包含真空能量张量的修正EFE。

对这种情况求解式16，我们得到：

式22：真空能量的能量密度是恒定的，因此，它最终相对于物质和能量密度成为主导。

宇宙学观测得出：

式23：宇宙学观测得到的能量密度Λ的值（即真空能量）。

Lambda-CDM模型

根据Lambda-CDM模型，加速膨胀开始于宇宙进入暗能量主导时代之后。

图16：宇宙总能量划分为物质、暗物质和暗能量

如前所述，加速度可以用宇宙常数（Λ>0）的正性来解释。后者相当于一种能量形式的存在，被称为暗能量，一种正形式的真空能量。目前宇宙学的标准模型中最常用的描述包括暗能量和假定的暗物质的存在。

图17：根据暗能量的性质，物理学家认为宇宙有三种可能的结局

然而，正如卡罗尔所指出的，广义相对论有以下特点：在非引力物理（例如电磁学）中，只有能量的差异与描述物体的运动有关，在广义相对论中，能量本身的值必须是已知的。这让我们马上想到一个问题：如果能量的零点是真空状态的能量，那么真空能量是多少？物理学中最重要的未解决问题之一就是如何回答这个问题。

量子场论中真空能量的计算

利用量子场论，可以计算出任何量子场的量子机械真空能（或零点能）。这种计算的结果可能比通过宇宙学观测得到的上限大120个数量级。我们相信存在某种机制使得Λ很小但不为零。

让我们计算一下存在于整个宇宙的所谓真空的量子能量。

图18：波动的虚粒子进出存在，因此，根据海森堡测不准原理，短时间违反能量守恒定律。

为了避免不必要的复杂情况，我将考虑用实函数φ(x,t)描述的实无质量标量场φ（而不是更复杂的电磁场）。在这种情况下，经典的哈密顿量是：

方程24:经典实无质量标量场的自由哈密顿量。

现在对经典场φ进行量子化。真空能量由对量子真空态取期望值得到：

式25：真空的能量。

用产生和湮灭算符表示场，并进行简单的代数运算，我们得到以下真空期望值的表达式（在没有粒子的情况下）。

式26：真空的能量。

式26中的第二项意味着真空期望值（VEV）是无穷大的。这个对VEV的无限贡献就是宇宙常数。正如卡罗尔所指出的，无穷大的值并不是一个可能的无限大空间的结果，它是我们所整合的高频模态的结果。如果我们用某个截止来限制积分，我们得到：

式27

如果QFT对于高的普朗克能量是有效的，我们得到：

式28：VEV的数量级

用式28除以式23，我们得到著名的120因子。

真空灾难——物理学史上最大胆的理论预测，也是物理学中最著名的未解问题之一